Zajtenberg Zajtenberg
925
BLOG

Bajka o tym, jak elektron porusza się z prędkością większą od c

Zajtenberg Zajtenberg Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 16

Bajka? Żadna tam bajka – to najprawdziwsze wnioski z najprawdziwszego równania na elektron. Przy okazji to przestroga, że czasami nie należy zawierzać do końca użytkowanym formalizmom. Przystąpmy jednak do opowieści…

W 1928 roku Dirac proponuje swoją wersję równania opisującego elektron (lub inną cząstkę oddziałująca elektrycznie o spinie 1/2) dla sytuacji, kiedy objawiają się własności kwantowe i relatywistyczne. W poprzedniej notce napisałem, że potraktowanie równania Diraca, jako jeszcze jednego równania mechaniki kwantowej prowadzi do nieodparcie humorystycznych wniosków. Od razu uprzedzam, że to humor wysoce hermetyczny. Czyli mamy kolejną notkę ,,dla kapłanów''. Trudno.

Istnieje kilka sposobów zapisywania tego równania. Na przykład taki, który ma postać równania ewolucji czasowej:

iħ {∂/∂t} Ψ = (m c^2β + eV -∑_{i=1}^3 α_i ( icħ{∂/∂x_i} + eA_i) )Ψ

Stan Ψ ma aż cztery składowe – składa się z czterech funkcji. Bierze się to stąd, że dla opisu cząstki o spinie 1/2 potrzebujemy dwóch funkcji (część o spinie „do góry” i część skierowana „na dół”). Doliczyć trzeba dwie składowe od antycząstki. Sposób poukładania tych informacji, zależy od konkretnych postaci macierzy  αi i β o rozmiarze 4×4, które mogą być dość dowolne, ale muszą spełniać warunki:

α_i^2 = β^2 = {\bf 1} \ \ \ \ α_xα_y = -α_yα_x \ \ \ \ (…)

Udział macierzy αi i β powoduje, że poszczególne składowe „mieszają” się ze sobą w trakcie ewolucji czasowej. Dlatego równanie to zwykle ciężko rozwiązać. Wpływ sił zewnętrznych uwzględniony jest przez potencjał magnetyczny Ai i elektryczny V.

Ci którzy chcą bliżej poznać szczegóły matematyczne mogą sobie zajrzeć do jakiegoś podręcznika z kwantówki, a ja poniżej skupię się, na dowodzie, że jedyna możliwa do zmierzenia prędkość elektronu, musi być prędkością światła. W tym celu sformułuję kilka założeń:

1. Operator zadający ewolucję to hamiltonian (operator energii).

Popatrzmy jeszcze raz na równanie Diraca. Człon stojący po prawej stronie możemy interpretować jako operator energii.

H = m c^2β + eV -∑_{i=1}^3 α_i ( icħ{∂/∂x_i} + eA_i)

Zresztą robi to Dirac w swojej pracy znajdując jego wartości własne, dla potencjału kulombowskiego – uzyskuje poprawki relatywistyczne do wyników dla atomu wodoru uzyskanych przez Schrödingera.

2. Operator położenia, to operator mnożenia przez x, y lub z.

Tak samo jest w teorii nierelatywistycznej. Tak „na dzień dobry” trudno wymyślić lepszego kandydata, tym bardziej, że energia potencjalna, zależna tylko od położenia, też jest operatorem mnożenia przez funkcję.

3. Wielkości, jakie uzyskujemy w mechanice klasycznej przez różniczkowanie po czasie, w mechanice kwantowej dostajemy przez wzięcie komutatora z hamiltonianem.

klasycznie: v_x ≡ { dx/dt} kwantowo: v_x ≡ (i/ħ)[H, x]

Komutator dwóch operatorów A i B to operator: AB–BA. Zasada sprawdza się w kwantówce nierelatywistycznej, możemy mieć nadzieję, że dla równania Diraca też będzie obowiązywać. Obliczmy więc operator jednej z trzech składowych prędkości, czyli komutator energii i położenia. Funkcja x jest przemienna zarówno z macierzami α i β, jak i funkcjami Ai i V, w komutatorze ,,zahaczy'' jedynie o pochodną cząstkową – całość jest więc dość prosta do policzenia:

vx = (i/ħ)[ H, x ] = … = c αx

Jaki ciekawy wynik! Operatorem składowej vx jest macierz αx pomnożona przez c. W odróżnieniu od przypadku nierelatywistycznego składowe prędkości nie są przemienne, co oznacza, że pomiar jednej (np. vx) ogranicza pomiar innej (vy lub vz). A jaką wartość możemy zmierzyć? To się łatwo da sprawdzić. Pamiętając o warunkach jakie mają spełniać macierze: αi2=1, okaże się, że kwadrat operatora vx  jest… liczbą równą c2. Oznacza to, że możliwe wartości własne jednej składowej prędkości równają się ±c.

4. Wartości własne operatorów stanowią możliwe wyniki pomiarów.

No i jesteśmy „w domu”: Jedyną prędkością elektronu (składową w dowolnie wybranym kierunku) jaka może się ujawniać w pomiarach jest c. To jeszcze nic. Gdyby udało nam się jakoś zmierzyć całkowitą prędkość, wyjdzie √3∙c.

Niezły hardkor, jak mówił Sven. Co jest źle? Prawdopodobnie któreś z czterech wypisanych założeń – według mnie trzecie wygląda dość podejrzanie. Niektórzy twierdzą, że prędkość w ogóle nie ma sensu w relatywistycznej kwantówce, albo proponują inny operator położenia. A może równanie Diraca jest fragmentem większej całości i samo w sobie nie jest kompletne? Napisałem tak w poprzednim odcinku: Zaniepokojonym o kondycję relatywistycznych kwantów, napiszę tylko, że równanie to, potraktowane jako kawałek odpowiedniej kwantowej teorii pola (QED) sprawuje się znacznie lepiej.

* * *

Dla osób, które nie znalazły w niniejszym odcinku nic śmiesznego, prezentuję jeszcze żarcik. Ale jest chyba równie hermetyczny jak reszta:

Dzwoni jeden fizyk do drugiego:
– Słuchaj, wymyśliłem nową kwantową teorię pola!
– Lepsza od aktualnie obowiązującej?
– I tak i nie. Pozbyłem się co prawda katastrofy w nadfiolecie i podczerwieni, ale pojawiła się za to katastrofa w UKF-ie i promieniowaniu rentgenowskim.

Zajtenberg
O mnie Zajtenberg

Amator muzyki "młodzieżowej" i fizyki. Obie te rzeczy wspominam na blogu, choć interesuję się i wieloma innymi. Tematycznie: | Spis notek z fizyki | Notki o mechanice kwantowej | Do ściągnięcia: | Wypiski o fizyce (pdf) | Historia The Beatles (pdf)

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie