W jednej z notek, chcąc pokazać, jak wygląda kwantówka, pisałem o tzw. stanach gaussowskich (koherentnych). Pomimo ich wysokiej estetyki i szlachetności matematycznej, to nie one są najczęściej obsadzanymi aktorami w rolach funkcji falowych mających opisywać sytuację „leci sobie cząstka”. Te role zarezerwowane są zazwyczaj dla tzw. fal płaskich.
Pojawiają się one w wielu sytuacjach jako najprostsze rozwiązania pewnych równań różniczkowych. Również w kwantówce. Dla przykładu: jeśli mamy swobodną cząstkę, która tylko sobie leci i z niczym nie oddziałuje, to opisana jest ona takim równaniem Schrödingera:
Przykład jest jednowymiarowy, dla prostoty zaniedbałem dwa wymiary, choć jeśli kto chce, może przejść do 3D. Nie wnikając w szczegóły dotyczące warunków początkowych, można dość szybko znaleźć na przykład takie rozwiązanie równania:
ψ(t, x ) = exp{ -iωt + ikx }, gdzie ω = k2/2m
W wspomnianej wcześniej notce pisałem o takiej fali, co ma w sobie człon exp{ikx }, przypomnę więc obrazek. Oto jak wygląda część rzeczywista (na niebiesko) i urojona (czerwono) takiej fali, są to dwie sinusoidy (na osi poziomej mamy położenie x).
Skoro to takie proste rozwiązanie, to dlaczego tytuł mówi o nieślubnym dziecku? Otóż taka fala, nie może być stanem w „prawidłowej” mechanice kwantowej, bo nie jest całkowalna z kwadratem. Całka: ∫|ψ(x)|2dx nie da się obliczyć, lub mówiąc mniej dokładnie jest nieskończona. Innymi słowy ta funkcja falowa nie da się unormować, czyli nie da się do niej zastosować interpretacji probabilistycznej.
Strażnicy czystości formalizmu powiedzieliby „Fizycy… kwantolodzy… Sabo. Nie idźcie tą drogą”.
* * *
Nieprzystawalność do postulatu o prawdopodobieństwie powinna wykluczyć fale płaskie z rozgrywki, a mimo to są stosowane i to w dodatku dość często. Dlaczego? Choćby z powodów czysto rachunkowych: Człon exp{ikx } jest używany przy transformatach Fouriera, więc dość pokaźny obszar kwantologii można obłaskawić tym kawałkiem matematyki. Pamiętajmy też, że fala płaska stanowi swoiste przybliżenie stanu o dobrze określonym pędzie, co nadaje jej jasną interpretację fizyczną.
Takie funkcje często brane są pod uwagę przy rozwiązywaniu przypadków rozproszeniowych, czyli takich, kiedy leci sobie cząstka i po drodze ma coś, z czym może oddziaływać. W przypadku kiedy nieoznaczoność położenia lecącej cząstki jest o wiele większa od obszaru gdzie następuje oddziaływanie, w obliczeniach stosuje się właśnie fale płaskie. Czyli zamiast męczyć się z sytuacją zależną od czasu przedstawioną schematycznie na obrazku (kolejne „klatki filmu”):
przeliczamy łatwiejszy przypadek stacjonarny:
W doświadczeniach tego typu badany jest rozkład kątowy rozpraszanych cząstek. Legenda zastosowanych elementów graficznych: granatowa siateczka - centrum rozpraszające (np. jądro atomu), czerwone linie - fala reprezentująca padające na centrum cząstki (np. elektrony), niebieskie ślady - te kawałki fali, które uległy odchyleniu od pierwotnego kierunku.
* * *
Czy można wyprowadzić fale płaskie z obszaru kwantologii? W zasadzie można, ale kosztem znacznego skomplikowania rachunków. Tak dużego, że chyba się nie da. Ponieważ funkcje rodzaju exp{ikx } nie są prawidłowymi funkcjami falowymi, potrzeba zachować w ich obecności trochę ostrożności. No, ale w końcu saper też pracuje w miejscach, gdzie „zwykłego” żołnierza nie należy wpuszczać…
