Zajtenberg Zajtenberg
535
BLOG

Kwantowa przyzwoitka

Zajtenberg Zajtenberg Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 31

Dwa ostatnie odcinki sugerowały, że jeśli chodzi o skuteczność, to ścisła kwantologia, która uznaje tylko poprawne działania matematycznie i modele zgodne z aksjomatami, przegrywa z niegrzeczną siostrą potrafiącą to i owo załatwić „na lewo”. Trzeba jednak wysłuchać również drugiej strony. Nie zawsze towarzystwo porządnickiej ciotki przyzwoitki stanowi niepotrzebny balast – czasami pozwala uratować się przed nieprzyjemną wpadką. Poniższy scenariusz, to taka właśnie historia.

Pomyślmy, że fizyk obliczeniowy stara się policzyć możliwe energie jakiegoś układu. Liczenie energii to jedno z najważniejszych zadanie jakie stoi przed kwantologią. Polega na znajdowaniu wektora ψ i odpowiadającej mu wartości energii E . Energia układu, reprezentowana jest przez operator H. Innymi słowy trzeba rozwiązać równanie Schrödingera:

H ψ = E ψ

Ale zagadnienie jest trudne, nie da się rozwiązać powyższego równania ściśle i trzeba używać metod przybliżonych. Koniec końców, fizyk policzył sobie jakiś stan ψ i odpowiadającą mu energię E. Tyle, że metoda jest przybliżona, więc wyniki są też przybliżone i niestety:

H ψE ψ

Fizykowi co liczył, może się wydawać, że w tym właśnie przypadku „nie równe” (≠) oznacza „prawie równe”, „równe z wystarczającą dokładnością”. Czy można rozwiać jego wątpliwości? Czy istnieje jakiś sposób żeby rozstrzygnąć problem? Jest, tylko trzeba zapytać porządnickiej wersji mechaniki kwantowej, która jak ciotka przyzwoitka podpowie, czy wypada się tak zachowywać czy nie.

Zaczynamy od sprawdzenia, jaka jest nieoznaczoność energii w znalezionym stanie. Nie będę pisał jeszcze raz, jak się owe nieoznaczoności liczy – można zajrzeć do notki „O czym mówi zasada nieoznaczoności?”. Samo policzenie nieoznaczoności wiele podpowiada o jakości uzyskanego wyniku – dobrze, żeby ΔH była jak najmniejsza. Gdy tak właśnie jest, zaglądamy do twierdzenia, które mówi, że w przedziale domkniętym

image

istnieje co najmniej jedna wartość własna operatora H. Bardziej ściśle pisze się, że ten przedział zawiera elementy widma H. Do sukcesu brakuje tylko szacowania, że przedział zawiera tylko jeden taki element.

I tu wkracza do akcji nasza przyzwoitka, która dość wysublimowanymi metodami bada jakie są mniej lub bardziej ogólne cechy widma H, bez jego jawnego znajdowania – gdyby można było te wartości własne znaleźć, nie trzeba by stosować metod przybliżonych. Może się wydawać, że nie warto drążyć równania, skoro i tak nie potrafimy go rozwiązać, ale jak się poniżej okaże każda informacja ma znaczenie.

Jeśli widmo jest punktowe – inaczej mówiąc wartości własne H są dyskretne, to już mamy prawie sukces. Pozostaje tylko wymusić na przyzwoitce określenie ileż tych wartości może być w interesującym nas przedziale. Gdy tylko jedna i to taka, że odpowiada jej tylko jeden wektor[1] (mówi się wtedy, że widmo jest niezdegenerowane w tym punkcie) – wiemy, że praca fizyka, który dokonywał obliczeń przybliżonych nie poszła marne. Z czystym sumieniem znaczek ≠ może zamienić na ≈.

A co, jeśli widmo jest ciągłe? Sprawa bynajmniej nie jest beznadziejna! Jeśli przyzwoitka powie, że to ciągłość takiego rodzaju, jak w przypadku cząstki swobodnej, to klops. Ale są sytuacje, kiedy pomimo ciągłości widma, osiągnięte rezultaty mają sens. I o takim przypadku będzie następny odcinek.

[1] Ściślej rzecz biorąc, interesuje nas potwierdzenie, czy liczba wektorów własnych – bo niekoniecznie musi chodzić o jeden – jest zgodna z naszymi oczekiwaniami.

Zajtenberg
O mnie Zajtenberg

Amator muzyki "młodzieżowej" i fizyki. Obie te rzeczy wspominam na blogu, choć interesuję się i wieloma innymi. Tematycznie: | Spis notek z fizyki | Notki o mechanice kwantowej | Do ściągnięcia: | Wypiski o fizyce (pdf) | Historia The Beatles (pdf)

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie