Przez pięć ostatnich notek wypisywałem, jak to fizycy budują swe kwantowe modele niekoniecznie mając na uwadze poszanowanie matematyki czy stuprocentową zgodność z aksjomatami teorii. Nie chciałem bynajmniej opowiadać prze to „widzicie że to same oszukaństwa?”, ale raczej „w mechanice kwantowej buzowało od samego początku, nie wszystko udało się zmieścić w gorsecie aksjomatyki – są jeszcze możliwości rozwoju!”. Poniższa notka stanowi ilustrację tej tezy. Notką tą kończę całą serię, pomimo, że bezpośrednio nie opowiada o wzajemnych relacjach porządnisi i niechlujki.
* * *
Równanie Schrödingera od samego początku było napisane w wersji nierelatywistycznej, co początkowo wydawało się dość istotną wadą, gdyż w latach dwudziestych STW już na dobre zadomowiła się w fizyce[1]. Zresztą pierwsze równanie jakie Schrödinger w 1926 roku napisał, spełniało wymagania STW – dziś nazywa się go zwykle równaniem Kleina-Gordona – ale nie pasowało do atomu wodoru. Z problemem poradził sobie dwa lata później Dirac, który mówiąc bardzo obrazowo, wyciągnął pierwiastek z równania K-G. Co ciekawe jego propozycja, oprócz tego że lepiej przewidywała widmo wodoru i gratisowo dodawała do elektronu spin, to wprowadzała pewne niejasności, które same w sobie są bardzo ciekawe, ale nie o tym jest akurat notka.
Wracając do 1926 roku: Schrödinger w swoich rozważaniach ograniczył się do przypadku nierelatywistycznego, i… na tym „wygrał”. Teoria zbudowana na jego równaniu zaczęła odnosić niebywałe sukcesy – nie tylko pozwalała obliczyć jak wyglądają widma atomów i cząsteczek, wraz z szerokościami linii widmowych; wyjaśniała też działanie: półprzewodników, nadprzewodników, zwykłych przewodników, widm jąder atomowych, zjawisk zachodzących na powierzchni i w środku ciał stałych, układu okresowego pierwiastków… Ta długa lista wcale nie jest kompletna, ale poprzestanę na takiej, bo ona też nie jest tematem notki.
Ciekawe jest to, że nierelatywistyczna mechanika kwantowa w cokolwiek niespodziewany sposób „pasuje” do takich aspektów relatywistycznych jak emisja fotonu i spin.
Atom wysyła fotony
Emisję fotonu interpretuje się jako zjawisko relatywistyczne. Bo tak określa się procesy, gdzie liczba cząstek się zmienia. Tutaj tak właśnie jest, bo powstaje foton. Zresztą nie można traktować fotonu jako czegoś nierelatywistycznego, skoro porusza się w prędkością światła.
Tyle, że tego fotonu tak naprawdę nie ma w równaniu Schrödingera. Ale w jakiś tajemniczy sposób wyliczone z niego energie elektronów w atomie (dokładniej ich różnice) dadzą energie obserwowanych fotonów.
Tak piszą o tym Ingarden i Grabowski we wspomnianej trzy odcinki temu „Mechanice kwantowej”: Teoria kwantów jest teorią mikroświata opisującą atomy, cząsteczki, a więc układy elektryczne i o tym mimo sugestywnego „mechanicznego” języka nie wolno zapominać. (…) Formalizm kwantowy został zasadniczo zbudowany z odpowiedników pojęć mechanicznych. Ujęcie zaś aspektu elektromagnetycznego prowadzi ku elektrodynamice kwantowej, ku teorii pól kwantowych. No właśnie, to trochę niezwykłe, że nierelatywistyczne przybliżenie energii elektronu – energia kinetyczna i przyciągania elektrostatycznego – „produkuje” wyniki, jakich na dobrą sprawę moglibyśmy się spodziewać dopiero w elektrodynamice kwantowej.
Spin
Równie ciekawym przykładem jest spin. Uważany jest dość powszechnie za zjawisko czysto kwantowe i czysto relatywistyczne. Jest to wewnętrzny moment pędu cząstek, czy to prostych czy złożonych. Spójrzmy choćby na elektron, który gdy pozwala sobie zmierzyć którąś ze składowych spinu, to zawsze wychodzi albo ħ/2 albo –ħ/2. Zresztą to samo tyczy się choćby neutronu czy protonu, które w odróżnieniu od elektronu mają wewnętrzną strukturę.
Prawdą jest, że spin wprowadza się „ręcznie” do równania Schrödingera – a zrobił to Pauli – bo samo z siebie go nie urodzi, w odróżnieniu od równania Diraca. Mimo to, z całkiem ogólnych założeń mechaniki kwantowej da się wyprowadzić, jakie mogą być wyniki pomiaru momentu pędu. Można mianowicie zmierzyć:
0, ħ/2, ħ, 3ħ/2, 2ħ…
O ile całkowite wartości łatwo znaleźć w tzw. orbitalnym momencie pędu czyli kwantowej wersji momentu pędu znanego z mechaniki klasycznej, to te połówkowe wyraźnie pokazują, że w nierelatywistycznej teorii istnieje „przygotowane” miejsce na „ręczne” wprowadzenie relatywistycznego spinu.
* * *
Nie od dziś mam wrażenie, że poczciwa mechanika kwantowa, taka od Schrödingera i Heisenberga jest mądrzejsza niż nam się wydaje.
[1] Trzeba poczytać sobie czwarty tom berkeley’owskiego kursu fizyki pt. „Fizyka kwantowa”. Autor traktuje tam nierelatywistyczną mechanikę falową z pewnym lekceważeniem, pisząc: …określiliśmy teorię Schrodingera mianem fenomenologicznej. Uzasadnione jest to tym, że teoria Schrödingera nie jest z całą pewnością teorią fundamentalną. Wspomnieliśmy już o niektórych ograniczeniach i chcielibyśmy, by czytelnik jasno ten punkt zrozumiał. Samo równanie pojawia się dopiero na stronie 299 (całość obejmuje 455 stron). Czyli co najmniej 2/3 książki może się obejść bez informacji o moim ulubionym równaniu. O swoistym dogmatyzmie niech świadczy fakt, że w roli „prawdziwej” formuły „fal materii” występuje tam równanie Kleina-Gordona. To że nie policzymy z niego choćby konfiguracji elektronów w atomach czy gęstości prawdopodobieństwa położenia cząstki nie jest jakoś istotne. Mało ważne jest to, że obiekty, które to równanie mogłoby opisywać, są raczej rzadko spotykane. Wystarczy, że równanie jest relatywistyczne!
Skoro już wylewam żale na ten podręcznik, to jeszcze jedno – mechanika Schrödingera według autora się udaje, bo stała sprzężenia oddziaływania e-m jest niewielka α≈1/137. Skoro tak, to dlaczego używana jest do opisu emisji cząstek alfa, skoro wynika ona z istnienia oddziaływań silnych, a te mają o wiele większą stałą sprzężenia? Ech…
