W nawiązaniu do poprzedniej notki, chciałbym napisać kilka uwag na temat niezmienniczości. Na początek jednak trochę (niepełnych) definicji.
1. układ współrzędnych - minimalny zestaw funkcji, które różnicują nam zbiór. Odpuszczam sobie wszelkie niuanse matematyczne, bo chodzi o jakiś ładny zbiór (taki jak Rn) i ładne funkcje.
2. układ prostokątny - taki układ współrzędnych, że tensor metryczny ma niezerowe elementy tylko na przekątnej.
3. układ kartezjański - taki układ prostokątny, że tensor metryczny ma na przekątnych wartości ±1.
No i tak się składa, że większość wzorów w fizyce formułowana jest dla układów kartezjańskich. Ale oczywiście można próbować zapisywać je dla dowolnego układu współrzędnych. Dla równań Maxwella akurat uda się to zrobić.
Jeśli zdefiniujemy formy różniczkowe F (zawiera pole E i B) oraz G (pola D i H) oraz formę źródeł J określone na czterowymiarowej przestrzeni, równania Maxwella można zapisać w postaci:
dF = 0
dG = -J
gdzie d oznacza "zwykłe" różniczkowanie.
Taka postać[1] jest "odporna" na dowolną zmianę układu współrzędnych. Można więc sobie wyobrazić następujący scenariusz: Forma źródeł J będzie miała jakąś prostą postać w niekoniecznie prostokątnym układzie współrzędnych. Rozwiązujemy równania licząc, że będzie to łatwiejsze niż w układzie kartezjańskim. Na koniec "transformujemy" rozwiązania do układu kartezjańskiego, żeby zobaczyć, co tak naprawdę nam wyszło. Trudno mi mówić o sensowności tego algorytmu[2], bo pewnie tensor metryczny naprodukuje przy tym niezłych śmieci i rozwiązanie wcale nie będzie łatwiejsze.
Być może właśnie dlatego w mojej książce[3] wszelkie konkretne obliczenia nie wychodzą poza układy prostokątne, a przykłady z układami innymi niż kartezjańskie należą do rzadkości. Nie zmienia to faktu, że równania Maxwella (zapisane po "nowemu") są niezmiennicze względem dowolnych transformacji.
No dobra, pożartowałem sobie troszkę, a teraz spróbuję poważniej. Argument, że transformacje zachowujące postać równań są wyróżnione i np. opisują przejścia między układami inercjalnymi brzmi ładnie. Ale przecież transformacja (t, x, y, z) → (t, r, θ, φ) też przedstawia takie przejście, a nie zachowuje ani postaci równań (po staremu) ani tensora metrycznego (po nowemu). No tak, znów zaczynam żartować, więc kończę.
[1] Związki materiałowe, czyli powiązanie F i G, zależy od tensora metrycznego, czego tu nie wypisałem. Przy takim ujęciu równań przekształcenia Lorentza i Poincarego definiuje się jako te, które zachowują postać tensora metrycznego.
[2] Na studiach tylko dwa razy robiłem poważniejsze obliczenia czegoś, co nie było kartezjańskie: ręcznie obliczanie laplasjanu we współrzędnych sferycznych i rozwiązywanie kawałka równania Schrödingera dla atomu wodoru.
[3] "Mojej" nie oznacza, że to ja ją napisałem, tylko, że ją kiedyś kupiłem, żeby się z niej uczyć :).
