Skąd się bierze gama?

Dziś nie będzie o mechanice kwantowej, ale o strunach. Ale nie o teorii strun, ale o tych prawdziwych, grających.

Byłem zaskoczony, gdy dowiedziałem się, że struna, która gra dźwięk odpowiadający częstotliwości 1000 Hz, tak naprawdę „na raz wytwarza” wiele różnych tonów. Najgłośniejszy jest ten który ma 1000Hz. Ale oprócz niego powstają dźwięki o częstotliwościach 2000Hz, 3000Hz, 4000Hz itd. Mówi się, że dźwięk składa się ze składowych harmonicznych, albo (mądrzej) z alikwotów. Częstotliwości tych harmonicznych są wielokrotnością częstotliwości podstawowej. Im wyższa składowa, tym jest słabsza, dzięki temu ucho nie odbiera tej sumy jako kilku dźwięków o różnych częstotliwościach. Istnienie składowych nadaje natomiast dźwiękowi brzmienie[1]. Każdy instrument ma inne proporcje natężenia alikwotów, dzięki czemu możemy rozróżnić skrzypce od trąbki. Zauważmy np., że im wyższe dźwięki, tym bardziej stają się nierozróżnialne – ucho nie odbiera wyższych składowych od 20000 Hz[2], więc mniej alikwotów pomaga nam rozróżnić brzmienia.

Skąd się biorą owe harmoniczne? Na początek przyjmijmy (bez dowodu) spostrzeżenie, że częstotliwość dźwięku jest odwrotnie proporcjonalna do długości struny. Przeanalizujmy sobie jak nasza struna może drgać. Na pewno na końcach (tam gdzie jest zamocowana) się nie rusza, za to im bliżej środka, tym więcej ma swobody:

Ale przecież możliwe są i takie drgania (ich dźwięk będzie dwa razy wyższy, bo „długość” struny jest dwa razy mniejsza):

I takie:

I tak dalej.

I rzeczywiście tak jest. Uderzona struna wykonuje rozmaite drgania, które sumując się dają charakterystyczne brzmienie.

Ale wróćmy do pytania „skąd się bierze gama?”. Zacznijmy od końca, czyli od tego jak poukładane są dźwięki w jakimś instrumencie klawiszowym czy innej gitarze. Zaczynamy od jakiegoś tonu np. od c, kolejny to cis o nieco wyższej częstotliwości, d ma jeszcze wyższą częstotliwość. Po przejściu 12 takich odległości (półtonów) dochodzimy znów do c tyle że o oktawę wyższą (muzycy piszą c’). Fizycznie objawia się to podwojoną częstotliwością. To że przechodząc przez całą oktawę otrzymujemy dźwięk 2 razy wyższy pozwoli na obliczenie częstotliwości wszystkich 12 dźwięków: c, cis, d itd.

Załóżmy, że przy przejściu z c do cis częstotliwość zmienia się X razy:

f_cis = Xf_c

Podobnie można napisać dla d:

f_d = Xf_cis = X²f_c

Chwila wysiłku umysłowego i dostaniemy, że:

f_c' = 2f_c = X¹²f_c

Stąd można obliczyć X – jest to pierwiastek dwunastego stopnia z 2:

X¹²=2  ⇒ x = 2^1/12

Ponieważ mało kto potrafi w pamięci obliczyć taki pierwiastek, zaprzągnijmy Excela do obliczeń. Wysokość następnego dźwięku obliczymy dzięki formule:

=B2*POTĘGA(2;1/12)

Oczywiście, jeśli poprzedni dźwięk umieszczony był w komórce B2.

W ten sposób można (poprzez samokopiowanie) znaleźć wartości innych tonów. Poniższa tabelka pokazuje wyniki, poszerzone o wysokości harmonicznych dla każdego dźwięku – obliczenia te potraktuję jako łatwe dla każdego, kto choć trochę obył się w Excelu. Żeby było prawdziwiej staruję od „prawdziwej” częstotliwości c czyli 261,6 Hz.

Zauważmy, że niektóre harmoniczne prawie pokrywają się z częstotliwościami innych dźwięków, a dokładniej trzecia i szósta składowa to dźwięk g, a piąta to e. Żeby było łatwiej oznaczyłem to kolorami. Jeśli uważałeś na lekcjach muzyki, to od razy sobie przypomnisz, że te trzy dźwięki (c, g i e) tworzą akord C-dur!

Zależności te okrył już Pitagoras: Zajmował się on wzajemnymi proporcjami liczb całkowitych i odkrył że dźwięk, który wydobywa 2/3, 3/4 i 4/5 długości struny współbrzmi z dźwiękiem granym na całej strunie. Jeśli przypomnimy sobie, że częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do długości struny, to mamy wyjaśnienie tego spostrzeżenia: Dźwięki „współbrzmią” bo powtarzają się w nich niektóre harmoniczne.

• Dźwięk e: 329,6 Hz czyli (2)^4/12∙261,6 Hz ≈ (5/4)∙261,6 Hz
• Dźwięk g: 392,0 Hz czyli (2)^7/12∙261,6 Hz ≈ (3/2)∙261,6 Hz

W ten sposób, testując inne długości struny wyjściowej, szkoła pitagorejska dopracowała się aż ośmiu dźwięków. Za każdym razem używano długości będącej ułamkiem, gdzie licznik i mianownik to niewielkie liczby całkowite.

Zaraz, zaraz! Nawet uczeń gimnazjum wie, że mało który pierwiastek jest liczbą wymierną, a tabelka z częstotliwościami dźwięków to przecież pierwiastek dwunastego rzędu, a nie ułamek. Wyjaśnienie jest dość proste: Dla każdej gamy (tonacji) zbudowanej po pitagorejsku trzeba było inaczej stroić instrumenty. Gdzieś dopiero w XVIII wieku zaczęto stosować uproszczenie polegające na równomiernym oddaleniu do siebie 12 dźwięków (tak właśnie jest w tabelce) – nazywa się to skala temperowana i według znawców brzmi „brudniej” od skal starego typu. Wiadomo dlaczego: harmoniczne prawie się pokrywają, ale jednak trochę się różnią (no bo (2)^4/12 jednak nie równa się 5/4). Mimo to, nikt nie narzeka na Konkursie Chopinowskim, że używa stroju temperowanego na przydzielonym fortepianie :)

Nie pisałem jeszcze o tym, czemu jedno pole w tabelce zaznaczone jest na czerwono: Siódma składowa nie pokrywa się z żadnym rozsądnym dźwiękiem w gamie i im jest mocniejsza, tym dźwięk brzmi ostrzej i nieprzyjemniej. Tyczy się to również kilku następnych składowych (dziewiątej, jedenastej, trzynastej), tyle, że ta jest pierwszą która „dysonansuje”. No ale o tym będzie więcej w następnym odcinku.

[1] To zdanie jest prawdziwe "w pierwszym przybliżeniu", bo o wrażeniu brzmienia decydują również zmiany dźwięku. Ten kto wie jak działa np. taki flanger czy chorus, wie że wychodzi z tych efektów dźwięk o którym trudno powiedzieć że ma konkretną częstotliwość, nie mówiąc już o stałych alikwotach. 

[2] To granica teoretyczna, w praktyce ludzie słyszą mniej. A im starsi tym jest „gorzej”. Kiedyś na pracowni fizycznej testowaliśmy sobie uszy głośniczkiem podłączonym do generatora drgań. Słyszałem wtedy nawet 17,5 KHz. Dziś ledwo sięgam do 15 kHz. Mało prawdopodobne, byś słyszał wyższe częstotliwości od swoich dzieci (jeśli rzecz jasna masz dzieci :)