Zasada nieoznaczoności jest jednym z najbardziej "medialnych" elementów mechaniki kwantowej. Często przybliżając jej treść fizycy posługują się stwierdzeniem, że „nie można zmierzyć dokładnie jednocześnie dwóch obserwabli (wielkości fizycznych)”. No cóż, powyższe zdanie można rozumieć rozmaicie, ale wbrew pozorom zasada ta nic nie mówi o jednoczesnych pomiarach (np. pędu i położenia). O czym więc mówi?
Zacznijmy od tego, że mierząc obserwablę A w danym stanie ψ dostaniemy zwykle różne wyniki[1], które są wartościami własnymi operatora A[2]. Mając więc serię pomiarów, każdy dokonany na takim samym stanie[3], dysponujemy jakąś tam ilością wyników. Można wyliczyć z nich średnią – oznacza się to za pomocą nawiasów trójkątnych:
Napisałem tutaj indeks ψ (potem już będę go opuszczał), żeby zaznaczyć, że całość dotyczy tego właśnie stanu – dla różnych stanów otrzymamy inne średnie. Ci, którzy liznęli statystyki, wiedzą, że oprócz średniej można znaleźć tzw. średni błąd kwadratowy. Jak to się robi? Najpierw znajdujemy odchylenie od średniej:
potem podnosimy to do kwadratu, liczymy średnią (z kwadratów odchyleń) i z całości bierzemy pierwiastek. To, co otrzymamy to właśnie nieoznaczoność wielkości A w stanie ψ, oznaczana zwykle ΔA:
Podobną wielkość można uzyskać dla innych obserwabli. Można oszacować z dołu iloczyn nieoznaczoności (dokładności) dwóch wielkości fizycznych w danym stanie. Rachunek nie jest jakoś trudny, ale długi, więc wypiszę tylko wynik końcowy:
I to właśnie matematyczna treść słynnej zasady. Wyrażenie [A, B] to tzw. komutator równy AB-BA[4].
Jak widać nie ma tu mowy o jednoczesnych pomiarach. Co więcej, jeśli chcemy doświadczalnie potwierdzić powyższe wzory, musimy zorganizować sobie dwie serie pomiarów, gdzie będziemy mierzyć jedną z tych dwóch wielkości raz. Każdy pomiar ma się odbywać na tak samo przygotowanym stanie „początkowym”.
Uwagi:
- Dla operatorów położenia i pędu, komutator jest równy [x,p]=iħ, więc zasada nieoznaczoności sprowadzi się do prostej postaci: ΔxΔp ≥ (1/2) ħ
- Kiedy operatory komutują [A, B]=0, można znaleźć wśród ich wszystkich stanów własnych takie, że nieoznaczoność dla obu obserwabli będzie zerowa. To stany własne zarówno A jak i B. Pomiar takich wielkości nie zmienia stanu, więc (w teorii) można go mierzyć wielokrotnie. Być może ta właściwość spowodowała, że fizycy zaczęli mówić o „jednoczesności”.
- Jakby wbrew treści tej notki, jakoś podskórnie czuję, że z tą „jednoczesnością” coś jest jednak na rzeczy, ale zdaje się, że formalizm mechaniki kwantowej nie potrafi tego wyrazić.
- W notce nieco nonszalancko utożsamiłem wzory teoretyczne i czynności jakie rzeczywiście należałoby dokonać, żeby je potwierdzić. „Porządne” sformułowanie notki skomplikowałoby niepotrzebnie jej treść.
- I na koniec jak według mnie może wyglądać „opowiadanie”[5] o zasadzie nieoznaczoności: „Jeśli dany stan pozwala do dokładny pomiar położenia, to wymusza niedokładny pomiar pędu”.
[1] Wyjątkiem są pomiary na stanach własnych obserwabli – wtedy za każdym razem mamy ten sam wynik, ale o tym później.
[2] Ciutkę dokładniej pisałem o tym w notce QM – rzut oka na zasady.
[3] Nie chodzi tu o mierzenie jednego stanu, bo po pomiarze, nastąpi redukcja pakietu i dostaniemy już inny stan.
[4] Jest to coś w rodzaju miernika nieprzemienności operatorów A i B. Mówiąc żartem: komutator (gdyby udało się taki utworzyć) operacji wyrywania zęba i operacji znieczulenia będzie na pewno zauważony :).
[5] „Opowiadanie", bo do ścisłości, to jeszcze wiele mu brakuje.
