Model cząstki w mechanice falowej

Fajnie było opowiadać jak to pracują ogólne zasady kwantologii i co też z nich ciekawego wynika. Schody zaczynają się, kiedy trzeba zbudować jakiś model czegoś bardziej zbliżonego do rzeczywistości i co gorsza uzasadnić, że taki właśnie a nie inny jest akuratny. Dlatego dziś postaram się taki prosty model cząstki utworzyć. Niestety w tym celu użyję nieco nietrywialnej matematyki, co może ograniczyć ilość potencjalnych czytelników, ale za to powoli „poczuć” jak się pracuje w kwantówce.

Ponieważ model ma być prosty, od razu zastrzegam, że dotyczy przypadku nierelatywistycznego[1], w dodatku zaniedbam spin, wewnętrzną strukturę cząstki i na dokładkę ograniczę się do jednego wymiaru[2].

Spróbujmy napisać jak będzie wyglądać funkcja falowa cząstki umieszczonej w punkcie x₀. Dzięki zasadzie nieoznaczoności, wiemy, że nie ma takiej możliwości, żeby zbudować sobie stan, który na 100% będzie zlokalizowany w danym punkcie, ale można spróbować wymyślić sobie funkcję mówiącą, że cząstka jest mniej-więcej w punkcie x₀. W tym celu wykorzystamy funkcję, która sprawdziła się w statystyce, czyli rozkład Gaussa. Wystartujemy od rozkładu prawdopodobieństwa znalezienia cząstki:

Funkcja falowa to z grubsza pierwiastek z takiego rozkładu:

Prawdopodobieństwo, że cząstka zostanie zmierzona w przedziale (a, b) jest następujące:

Jeśli tym przedziałem jest cała prosta, to powyższa całka powinna być równa 1. Wyliczenie tej całki pozwoli na znalezienie stałej N, która „normuje” nam stan[3].

Stała ta będzie potrzebna, jeśli będziesz chciał sobie przeliczyć rzeczy o których piszę (zawsze możesz mi uwierzyć na słowo, że się nie pomyliłem :) ), w przeciwnym razie możesz o niej zapomnieć. Możemy teraz obliczyć średnie x[4]:

Teraz pora na obliczenie Δx.

Widać teraz sens fizyczny parametru w: im większa wartość w tym większa nieoznaczoność położenia – ale nie zdziwi to kogoś, kto się choć trochę poznał na rozkładzie normalnym.

Pojawia się pytanie dlaczego taka a nie inna postać funkcji falowej? Odpowiedzi jest kilka:

• bo łatwo się liczy całki (przynajmniej niektóre);
• bo istnieje spora tradycja wykorzystywania rozkładu Gaussa w statystyce, dająca intuicje jak interpretować taki stan;
• bo są to „dobre” stany z punktu widzenia zasady nieoznaczoności dla pędu i położeń, o czym dalej.

No właśnie a co z pędem? Można powiedzieć, że w pewnym sensie (nie do końca to prawda) powyższa funkcja się „nie porusza”. Zaraz to naprawimy. Operator pędu określa się następująco: (-iħ)(∂/∂x). Można w łatwy sposób znaleźć „stany własne”[5] owego operatora:

Tu krótka opowiastka dla tych, co słabo znają liczby zespolone. Oto jak wygląda część rzeczywista (na niebiesko) i urojona (czerwono) takiej fali, są to dwie sinusoidy. Im większy jest pęd p₀, tym bardziej wykres jest ściśnięty.

W każdym razie intuicja jest następująca: im funkcja falowa jest „podobniejsza” do widocznych wyżej dwóch sinusoid, tym bardziej uzasadnione jest mówić, że cząstka ma (mniej więcej) pęd p₀.

Jak pożenić „nieruchomy” rozkład gaussowski z taką falą o określonym pędzie? Najprościej przemnożyć oba kawałki przez siebie i tak właśnie zrobimy. Takie działanie jest równoważne intuicji, że położenie jest opisywane przez moduł funkcji falowej, a prędkość/pęd przez jej fazę. Nie jest to ściśle prawdą, ale jako intuicyjne, pierwsze przybliżenie często się sprawdza.

Nie będę tu wprowadzał już formalizmu, który zastosowałem licząc średnie położenie i jego nieoznaczoność, napiszę jedynie jak wyglądają podobne wyniki dla pędu:

Nie trzeba długich rachunków, żeby stwierdzić, że dla takich stanów zasada nieoznaczoności pędu i położenia jest minimalizowana (przemnożenie przez falę płaską nie zmienia wyników i Δx). Można udowodnić, że podobne twierdzenie zachodzi w drugą stronę: jeśli dla danego stanu w zasadzie nieoznaczoności dla p i x występuje równość, to stan taki musi mieć postać „gaussowską”[6]. Koniec końców to co nam wyszło, wygląda następująco:

Mam nadzieję, że troszkę poczułeś, jak smakuje kwantówka. W ten właśnie sposób można budować stany, mające mniej więcej dane położenie (tu x₀) i pęd (p₀). Parametrem w wygodnie reguluje się, która z tych wielkości jest lepiej, a która gorzej określona. Dla uzupełnienia dodam, że gdybyśmy te wzory przerobili transformatą Fouriera, to okazałoby się, że pęd i położenie w tym formaliźmie są dość symetryczne.
 

[1] Prawdę powiedziawszy do tej pory pisałem wyłącznie o nieratywistycznej kwantówce, choć są tacy, co poważnie traktują np. postulaty QM dla przypadku relatywistycznego.

[2] Przejście do trzech wymiarów nieznacznie komplikuje obliczenia, więc możesz samodzielnie sobie zrobić przypadek 3D.

[3] To że „dobre” są tylko unormowane stany pozwala na spojrzenie z przymrużonymi oczami na postulat, że stany należą do przestrzeni wektorowej (Hilberta). Rzadko kiedy kombinacja liniowa takich wektorów spełnia warunek normowania. Dlatego w „mądrzejszych” książkach piszą o tzw. promieniach, czyli klasach równoważności wektorów (w klasie wektory są do siebie „równoległe”). Podejście takie jednak znacząco utrudnia, zwykle nieco nieporządną, analizę przypadków interferencyjnych.

[4] Powyższy wzór wygląda racjonalnie, jeśli myśli się o |ψ(x)|² jako o rozkładzie prawdopodobieństwa, ale trzeba pamiętać, że jest on szczególnym przypadkiem wzoru na wartość średnią obserwabli: = ∫ψ^*(x)(Aψ)(x)dx. (ta gwiazdka nad ψ ma oznaczać sprzężenie zespolone).