No właśnie. Co mamy zrobić, kiedy matematyka zastosowana do opisu rzeczywistości przestaje wystarczać? Prawa fizyki zapisujemy przecież w postaci równań matematycznych: dynamika Newtona, to równanie różniczkowe; pole e-m wygodnie opisywać za pomocą wektorów, a OTW przyjęła formalizm geometrii różniczkowej. Co więcej, jeśli jakaś idea fizyczna nie daje się ubrać we wzory, to fizycy zwykle nie są zadowoleni z takiego stanu – mówią wtedy o „machaniu rękami”. Chciałbym dziś pochylić się nad jednym z takich przypadków, kiedy „matematyka przestała wystarczać”.
Od starożytności poprzez całe średniowiecze a nawet nieco dalej, uważano, że planety poruszają się (jednostajnie) po okręgach. Do opisu ruchów ciał niebieskich używano języka geometrycznego – przede wszystkim okręgów które były figurami doskonałymi[1]. Oczywiście obserwacje ruchu planet pokazują, że tor na nieboskłonie nie jest żadnym okręgiem, ale dość skomplikowaną krzywą (to co widać, to nakładanie się ruchu niby to nieruchomej Ziemi i konkretnej planety). Składając ruchy odbywające się po dwóch okręgach (deferent i epicykl) można było uzyskać nieco podobny tor. Mimo to już Ptolemeusz wiedział, że tak uzyskany model nie odpowiada rzeczywistości, wprowadził więc dodatkowe komplikacje ruchu. W średniowieczu model był wciąż uzupełniany i wciąż niedokładny.
Kopernik rewolucyjnie „wstrzymując” Słońce, pozostał przy okręgach. Dopiero Kepler kazał planetom krążyć po elipsach, które są mniej „doskonałe” od okręgów. Oba kroki wymagały przekroczenia poglądów „uświęconych” wielowiekową tradycją[2]. Zauważmy jednak, że w dalszym ciągu opis ruchu opierał się o wielkości geometryczne. Stosowaną wciąż tą samą albo prawie tą samą matematykę. Ale drugie prawo Keplera, które dziś tak łatwo wyrazić jako zasadę zachowania orbitalnego momentu pędu (prędkość polowa jest stała, ale liniowa już nie), nie pasowało do cyrkla i linijki – planety nie poruszały się jednostajnie! Problem zmiennej prędkości nie mieścił się w przyjętym formalizmie matematycznym.
Rozwiązanie przyszło od Newtona, który wprowadził rachunek różniczkowy[3]. Co prawda policzyć pochodną jest pewnie trudniej niż narysować okrąg, więc można powiedzieć, że koszty rosną. Ale droższy produkt „bardziej się opłaca”, bo rozwiązując równanie (w dzisiejszej notacji):
dostaniemy owe elipsy i okręgi jako przypadki szczególne możliwych ruchów. W zbiorze rozwiązań pojawią się również parabole, hiperbole i (cokolwiek paskudna) prosta. Nowy model nie ma również problemów z tym, że prędkości planet, komet czy nawet rakiety lecącej na Księżyc, nie są stałe[4].
Gdybym więc miał dokończyć tytuł notki, napisałbym: Zamiast matematyki: inna matematyka.
[1] Aż prosi się, by zadać tu pytanie rodzaju „Czy przyroda jest matematyczna?” albo „Dlaczego przyroda współgra z matematyką?”. Przecież trudno o piękniejszy przykład „matematyzacji” przyrody, niż doskonały okrąg narysowany od cyrkla obrazujący ruch rzeczywistych planet i satelitów. :)
[2] Wymagały też ciężkiej pracy obliczeniowej, ale o tym, to już zazwyczaj pisze się niewiele.
[3] Uczniowie bazgrający w zeszytach wzór F=am, zwykle nie zdają sobie sprawy, że oznacza on zestaw równań różniczkowych.
[4] To że równanie F=am opisuje wszelkie możliwe ruchy ciał, jeśli tylko nie są za szybkie i nie dotyczą zbyt małych obiektów, potraktujmy jako darmowy ekstra super bonus :).
