Kosmiczny ping-pong

Przygotowując się do serii o Newtonie zajrzałem do kilku książek o tamtych czasach[1]. Jedną z nich była „Bliżej komety Halleya” Krzysztofa Ziółkowskiego. Znalazłem tam rysunek obrazujący dziwny ruch jednej z komet, który po pokolorowaniu pozwalam sobie zaprezentować poniżej:

Przedstawia on orbitę komety Lexella. Została odkryta 1970 roku przez francuskiego astronoma Messiera, przechodziła w tym czasie dość blisko Ziemi. Co ciekawe, Lexell, skandynawski uczony z Petersburga, policzył parametry jej ruchu i wyszło mu, że jej okres obiegu wokół Słońca wynosi 5,5 roku. Ponieważ jednak wcześniej nie obserwowano tak bliskiej komety, a przy takim okresie powinna być widoczna z Ziemi dość często: co 11 lat albo i częściej, wyniki obliczeń wydawały się nieprawdopodobne. Mimo to Lexell, z pomocą Laplace’a, wyjaśnił tę zagadkę. Analizując ruch Jowisza, doszedł do wniosku, że w 1767 roku kometa przechodząc w pobliżu owej planety znacznie zmieniła swoją wcześniejszą orbitę i wyhamowując zbliżyła się do Słońca (no i do Ziemi też). Potem, została zaobserwowana. Następnie w 1779 znów przeleciała w pobliżu Jowisza i na skutek oddziaływania grawitacyjnego wydłużyła swoją orbitę, znacząco przyspieszając. Okres obiegu może wynosić i kilkaset lat – wykres na rysunku jest nieco na wyrost, bo nigdy więcej nie widziano tej komety, która swą nazwę zawdzięcza nie odkrywcy, ale temu, kto wyjaśnił jej dziwne zachowanie.

Innymi słowy, kometa została najpierw spowolniona przez planetę, a kiedy przelatywała w jej pobliżu drugi raz, przyspieszyła. Intuicja (moja) jakoś nie mogła pogodzić się z tym, że siły przyciągające (grawitacja) powodują zwiększenie prędkości uciekającego obiektu[2]. A przecież to podstawowa metoda zwiększania prędkości sond kosmicznych badających odległe rejony Układu Słonecznego[3]. Czy można jakoś uzasadnić, to że kometa czy sonda kosmiczna może zwiększyć swą energię przelatując obok jakiejś planety?

Można. Ale do rzeczy. Równania Newtona podpowiadają jak powinien wyglądać ruch lekkich ciał w obecności masywnego centrum. Co prawda Newtonowi chodziło o ruch planet wokół Słońca, ale podobnie można analizować ruch komety w polu masywnej planety. Jeśli energia takiego obiektu nie jest zbyt wielka, to porusza się on po okręgu lub elipsie (prawo Keplera). Jeśli jednak ma większą energię i nie jest na stałe związane z przyciągającą masą, to jej torem jest hiperbola. Tak jak na rysunku:

A teraz, dla odmiany, popatrzmy na to jak wygląda ruch piłeczki odbijającej się od masywnej ściany:

Widać podobieństwa? Kometa „odbija się” od planety[4]. Zastanówmy się więc, czy odbicie piłki od ściany może spowodować zwiększenie lub zmniejszenie wartości prędkości? Ci co grają w piłkę (w zasadzie jakąkolwiek) wiedzą, że jeśli przyjęciu piłki towarzyszy cofnięcie nogi (ręki, rakiety itp.) prędkość piłki maleje. Czyli jeśli ściana „cofałaby się”, piłka wyhamowywałby przy odbiciu. W przeciwnym razie – gdy ściana „wyruszy naprzeciw” – piłka przyspieszy. Da się to jakoś uzasadnić? Ano da.

Zmieńmy układ współrzędnych na taki w którym ściana porusza się w kierunku piłki. W tym innym układzie trzeba przetransformować wszystkie położenia zgodnie z transformacją Galileusza (element nierelatywistycznej zasady względności)

r’ = r – ut

oraz  prędkości

v’ = v – u

gdzie u jest prędkością drugiego układu współrzędnych w pierwszym układzie. Obrazek będzie taki:

Widać, że zmieniła się prostopadła składowa prędkości – jej wartość zwiększyła się o podwojoną prędkość ściany. Jeśli chwilkę nad tym pomyślisz, to uznasz to za trywialny wynik.

Ale, ale! Przecież ten sam trik można zrobić i przeanalizować ruch komety w pobliżu ruchomej planety. Po przetransformowaniu obu trajektorii (bo nieruchomą planetę, też trzeba przerobić) okaże się, że efekt kosmicznego odbicia nie jest tak dziwaczny jak mogłoby się wydawać.

Mam nadzieję, że choć jednej osobie rozjaśniło się to czy owo przy czytaniu niniejszej, „obrazkowej” notki.
 

[1] Nie będę jednak ukrywał, że główną „inspiracją” był pierwszy odcinek świetnego serialu BBC „Geniusze”.

[2] Choć z drugiej strony miotacz obsługujący procę, rozpędzając pocisk ciągnie go do siebie, więc można intuicji podsunąć taki właśnie przypadek.

[3] http://pl.wikipedia.org/wiki/Asysta_grawitacyjna

[4] „Płaszczyzna odbicia” zależy od prędkości początkowej komety i odległości od planety.