Wielu pasjonatów nauk ścisłych zadaje sobie pytanie, dlaczego matematyka tak dobrze pasuje do rzeczywistości. Od czasów Pitagorasa (a może i wcześniej) powszechna jest wiara, pogłębiona znacząco przez Newtona, że to matematyka powinna opisywać rzeczywistość.
Skoro już we wstępie zapachniało podejrzanie filozofią, idę za ciosem i przypominam sobie zajęcia z filozofii prowadzone przez wspomnianego już przeze mnie prof. Mirosława Żarowskiego. Kiedy omawialiśmy paradoksy Zenona, odklepaliśmy przeczytaną w podręczniku formułkę, że kłopoty Zenona z Achillesem i żółwiem, brały się stąd, iż Zenon nie znał przejścia granicznego, z którym matematycy na szczęście sobie poradzili. Prowadzący uśmiechnął się „Czyżby?” No oczywiście! Gdyby znał pojecie granicy, zsumowanie 1+1/10+1/100+1/1000+… dałoby prosty rezultat 1,1111… czyli 10/9. Mimo naszego dobrego samopoczucia, ziarno wątpliwości zostało zasiane.
Spróbujmy zobaczyć, jakie są liczby co to pozwalają na wykonanie powyższej sumy. Żeby nie mamić wizją stworzenia świata od zera i jedynki, wystartujemy od liczb całkowitych Z. Najpierw zrobimy liczby wymierne. W tym celu bierzemy iloczyn kartezjański zbiorów: liczb całkowitych oraz liczb całkowitych bez zera:
Zx(Z-{0})
Elementami tego zbioru są pary liczb. Teraz ustala się relację równoważności, dzięki której utożsamimy pary różniące się między sobą o jakiś czynnik: Zbiór
{(1; 2), (2; 4), (10; 20), (-3; -6)…}
to liczba 1/2. Owe klasy równoważności nazwiemy ułamkami czyli liczbami wymiernymi Q. Już tak zdefiniowany zbiór posiada co najmniej kilka własności obcych naszemu światu.
- Długość ołówka to liczba. Liczbę można podzielić na pół i jeszcze raz na pół i… można to robić bez końca. Ołówka nie da się bez końca dzielić na pół. W zasadzie to nawet raz nie da się go podzielić na połowy.
- Gdyby ktoś na przykład sądził, że pieniądze liczy się tak samo jak liczby znane z lekcji matematyki, to niech policzy ile wynosi podatek VAT od śrubki, która kosztuje 10 groszy.
- Dodawanie nieskończonej ilości liczb wymiernych (czyli tak jak w zenonowym przykładzie) nie jest ani łączne, ani przemienne. Przejawia się to między innymi tym, że daną liczbę można przedstawić jako sumę nieskończoną, taką, że po zmianie kolejności sumowania składników możemy dostać w wyniku dowolną liczbę[1]. Któryś z matematyków zażartował sobie kiedyś, żeby wpłacić na konto 1zł. Jedynkę da się przedstawić jako opisaną wyżej sumę nieskończoną. Kiedy pozamieniamy kolejność składników można dostać dowolny wynik. Np. 1 000 000. No to zróbmy to samo z naszą złotówką na koncie w banku i wypłaćmy sobie ten milion.
Jak widać liczby wymierne Q, choć to przecież zwykłe ułamki o jakich uczymy się w podstawówce, krojąc rysunkowe torty na pół, pokazują zęby. W dodatku liczby te nie wystarczają, choćby po to, żeby rozwiązać równanie:
x2=2
Poszerzenia używanego zbioru liczbowego jest konieczne z wielu powodów. Na przykład jeśli mamy funkcję, których dziedziną jest zbiór Q, to nie można jej nawet zróżniczkować. Tym poszerzeniem jest zbiór liczb rzeczywistych.
W szkole poznałem jeden ze sposobów tworzenia sobie takich liczb. Jak to wygląda? Najpierw zdefiniujmy sobie zbiór funkcji, których dziedziną są liczby naturalne a zbiorem wartości liczby wymierne:
f: N →Q
Elementy tego zbioru to po prostu ciągi. Jest ich baaardzo dużo. Wybieramy z nich tylko te, które spełniają tzw. warunek Cauchy'ego. Chodzi w nim o to, żeby kolejne wyrazy ciągu różniły się coraz mniej[2], chciałoby się powiedzieć, „żeby były zbieżne”, ale właśnie na tym polega bajer, że taki ciąg, niekoniecznie musi być zbieżny w zbiorze liczb wymiernych. „Widać”, że ciąg
3; 3,1; 3,14; 3,141 …
dąży do liczby π, choć nie ma jej w Q. Kolejnym krokiem będzie narzucenie na ten okrojony już zbiór, relacji równoważności: utożsamimy dwa ciągi jeśli różnica tych ciągów, mówiąc oględnie dąży do zera. Klasy równoważności tej relacji nazwiemy liczbami rzeczywistymi i oznaczamy literką R.
Oczywiście taka konstrukcja nie wystarcza, potrzeba jeszcze pokazać, że ma sens. Czyli np. trzeba sprawdzić, że działania (dodawanie czy mnożenie) są dobrze określone i tym podobne kwiatki. Maurin w swoim podręczniku do analizy rozprawia się z tym zadaniem w sposób ścisły na kilku stronach.
Można się spodziewać, że tak skomplikowane obiekty, wśród wielu oczekiwanych własności, będą miały również raczej nierzeczywiste zachowania[3]. Dziedziczą choćby cechy, jakie wypisałem dla liczb wymiernych (a jeszcze dokładają swoje). A przecież to właśnie liczby rzeczywiste stanowią podstawowy budulec przy tworzeniu modeli matematycznych. Kiedy mówimy o płaszczyźnie korzystamy z iloczynu RxR, przestrzeń to R3. Dziedzina funkcji stosowanych w fizyce to zwykle jakiś podzbiór Rn, albo i cała Rn. Czy te zbiory mogą nas czymś zaskoczyć?
[1] To samo, tylko że jeszcze pełniej, obowiązuje dla liczb rzeczywistych.
[2] Proszę wybaczyć straszliwą nieścisłość powyższego stwierdzenia. Gdyby ktoś chciał jednak przypomnieć sobie warunek Cauchy'ego zawsze może to zrobić :)
[3] Podam taki przykład w następnej notce.
