Od tysięcy lat ludzie nauki zajmują się takimi pojęciami jak prosta, punkt, płaszczyzna, sfera, trójkąt, kula itp. W tym czasie geometria przeżyła już szereg mniejszych lub większych rewolucji:
- Kartezjusz połączył ją z algebrą wypisując równania rozmaitych krzywych. Jedną z ciekawostek jest choćby tzw. liść Kartezjusza.
- Począwszy od Gaussa poprzez Łobaczewskiego i Bolyai’a rezygnowano z postulatu równoległości tworząc tzw. geometrie nieeuklidesowe.
- Riemann uogólnił je, używając języka analizy, dając początek tzw. geometrii różniczkowej.
Zdawało się, że ta zwykła geometria euklidesowa, mająca parę tysięcy lat, gdzie działa twierdzenie Pitagorasa i można sobie obliczyć objętość kuli, niczym już nie zaskoczy. A jednak.
Zaczęło się od Cantora, który (zdaje się pierwszy) wynalazł fraktala, niepodobnego do kwadratów i kół. Twórca teorii mnogości pokazał też, że liczba punktów odcinka jest taka sama jak liczba punktów kwadratu czy sześcianu, co dziwi do dziś. Swój udział w „demolowaniu” starożytnej dziedziny miała również polska szkoła matematyczna z Banachem na czele. Ale o tym za chwilę, na razie oddajmy głos fizykowi Feynmanowi.
W czasach kiedy robił doktorat, często dyskutował ze swoimi kolegami matematykami, robiąc sobie z nich czasami małe podśmiechujki. Tak mniej więcej wspomina jedną z dyskusji[1], która miała pokazać, że matematyka (w książce mówi się o topologii) może być nieintuicyjna, z czym Feynman się nie zgadzał:
– Masz pomarańczę, tak? Krajesz ją na skończoną liczbę kawałków, składasz z powrotem i jest wielka jak słońce. Prawda czy fałsz?
– Nie ma dziur?
– Nie ma dziur.
– Niemożliwe! Coś takiego nie istnieje!
– Ha! Mamy go! Wszyscy zbiórka! Zadałem mu twierdzenie takiego-i-takiego o niemierzalnej mierze, a on powiedział, że jest fałszywe.
Byli przekonani, że przegrałem zakład, ale przypomniałem im:
– Powiedzieliście, że chodzi o pomarańczę! Nie można pokrajać pomarańczy na kawałki mniejsze od atomów.
Wspomniany przypadek to oczywiście paradoksalne twierdzenie Banacha-Tarskiego. Rzeczywiście pomarańczy nie można tak pokroić, ale matematyczną kulę istniejącą jedynie w świecie idei jak najbardziej. Inna wersja tego twierdzenia mówi, że można podzielić kulę na skończoną liczbę kawałków i złożyć z nich dwie kule – każda o takiej średnicy jak kula początkowa. Dziwaczne zachowanie, zdawałoby się porządnych zbiorów przestrzeni, „wyjaśniane” jest zastosowaniem w dowodzie tzw. postulatu wyboru, choć według mnie „winne” są liczby rzeczywiste. Matematyczna przestrzeń jest z nich „zrobiona”, bo każdy punkt to przecież trójka liczb. Innymi słowy trójwymiarowa przestrzeń to R3 z dodatkową (dość naturalną) strukturą. Ilość elementów naszego zbioru (kuli) jest nieprzeliczalnie duża. A jak czegoś jest nieprzeliczalnie dużo, to można z tego wykroić naprawdę dziwne rzeczy[2]. Dla mnie paradoks Banacha-Tarskiego to właśnie „efekt uboczny” przyjętej definicji liczb rzeczywistych.
Feynman jak widać niespecjalnie przejął się tym paradoksem. Często zresztą nie przejmował się też za bardzo poprawnością matematyczną pisanych przez siebie wzorów[3]. Z pewnymi odchyleniami indywidualnymi, takie jest chyba podejście większości fizyków: po prostu stosują matematykę, dowodzenie poprawności zostawiają matematykom. Sztandarowym (i nieco oklepanym) przykładem jest delta Diraca. Traktując ją jako funkcję, łatwo można dojść do sprzeczności. Poprawnie zdefiniowana jest tzw. dystrybucją. Fizycy ucieszyli się, że zdołano ją zdefiniować i… dalej w całkach piszą ją tak, jakby była funkcją. Oczywiście wiedzą, że pewnych działań (choćby wzięcie pierwiastka) nie da się na tej „funkcji” zrobić.
Porzućmy jednak dygresję o Feynmanie, fizykach i delcie Diraca, i wróćmy do głównego tematu. Zastanawia mnie, jakie jeszcze niespodzianki tkwią w stosowanych od stuleci dziedzinach matematyki o których można by sądzić, że nie mają już żadnych tajemnic. No bo fakt, że można podzielić sobie kulę na skończoną liczbę kawałków i potem złożyć je do kupy, tworząc kulę kilka razy większą, jest niespodzianką, z którą trudno byłoby się pogodzić Talesowi, Pitagorasowi czy nawet Kartezjuszowi.
[1] To cytat ze sławnej książki „Pan raczy żartować, panie Feynman”.
[2] Tym bardziej, że w trakcie dowodu jawnie korzysta się niewymierności: stosuje się np. obroty o niewymierną wielokrotność 2π.
[3] Nie wiem jaki jest dzisiejszy status całek po trajektoriach, ale jeszcze w trakcie moich studiów prowadzący seminarium na ten temat użył sformułowania: „Trwają spory czy obiekty tego typu dadzą się zdefiniować. Na razie brak poprawnej definicji takiej całki.” Być może dziś sytuacja wygląda inaczej, może ktoś z blogowiczów wie?
