Ładunek, prąd i STW

Sporo się pojawiało w Salonie24 różnych wpisów powątpiewających w STW, co jest dobrym prawem ich autorów. Zwykle chodziło o analizę gąszczu prętów i zegarków, albo (ostatnio) kwestie interpretacyjne doświadczenia Michelsona-Morleya. Ponieważ jakoś nie mam ochoty na polemikę polegającą na zgłębianiu tajników owych synchronizowanych czasomierzy – podejdę do sprawy z innej strony. Treść poniższych wypisków stanowi rozwinięcie moich pierwszych tu wypocin o fizyce.

Prosty przykład

Załóżmy przede wszystkim, że STW jest nieprawdziwa. Obowiązuje galileuszowskie podejście: nie ma żadnego skrócenia Lorentza, dylatacji czasu czy masy relatywistycznej; że wzory transformujące z jednego układu do drugiego są następujące:
dla czasu:

t’ = t (1)

dla położeń:

r’ = r – ut (2)

dla prędkości:

v’ = v – u (3)

dla sił (prosta konsekwencja II zasady dynamiki):

F’ = F (4)

Załóżmy też, że elektrodynamika, której postać zawdzięczamy pracy różnych fizyków w XIX wieku też jest prawidłowa.

Rozpatrzmy nieskończony naładowany pręt (λ– gęstość liniowa ładunku) w próżni i obliczmy pole elektryczne wokół niego. Sprawa jest dość prosta, trzeba obliczyć całkę występującą w prawie Gaussa (jedno z równań Maxwella):

Obszar wokół ładunku o dł. l

$\epsilon_0\int {\bf E}{\rm d}{\bf S} = q$

Jeśli weźmiemy pod uwagę, że ładunek wewnątrz tego cylindra wynosi q=hλ, to po obliczeniu powyższej całki dostaniemy wynik:

$E = {\lambda \over 2\pi\epsilon_0 r}$

Jak widać dołączyłem skan z bardzo popularnej książki „Fizyka” Halliday’a i Resnicka, bo po pierwsze nie chciało mi się rysować, a po drugie, żeby pokazać, że takie rzeczy liczą studenci z jakimkolwiek kursem fizyki, a nawet bardziej zaawansowani licealiści.

Teraz to samo, tylko w innym układzie.

Teraz ten sam pręt, tylko w innym układzie odniesienia, poruszającym się z prędkością u=–v względem poprzedniego, równolegle do kierunku pręta. Teraz oprócz takiego samego ładunku (a co za tym idzie takiego samego pola E), mamy również prąd, bo ładunki w pręcie poruszają się razem z prętem, a poruszające się ładunki to nic innego jak prąd, równy I=λv. Wokół prądu pojawi się pole magnetyczne. Wzór na pole B wokół nieskończonego przewodnika prądem przypomniałem sobie z tej samej książki. Startujemy od całki:

Pole B wokół prądu I

$\oint {\bf B}{\rm d}{\bf l}= \mu_0 I$

co po obliczeniu daje:

$B = {\mu_0 I \over 2 \pi r} = {\lambda v\mu_0 \over 2 \pi r}$

Wypisana wyżej całka jest szczególnym przypadkiem uogólnionego (przez Maxwella) prawa Ampera (tutaj nie występuje prąd przesunięcia).

Super. Teraz chwilka na zastanowienie się. Powinno być tak, że mając pole e-m w jednym układzie współrzędnym, powinniśmy mieć możliwość przeliczenia jak wygląda ono w innym układzie. Jak widać powyżej żadna z możliwych transformacji galileuszowskich (wzory 2-4) nie zapewnia przejścia, żeby z pola E (na rysunku czerwone) w układzie pierwszym uzyskać pole E i B (niebieskie) w układzie drugim.

Pole E i B w różnych układach odn.

W sumie to, że w drugim układzie nagle pojawiło się pole B, którego nie było w pierwszym, jest godne zastanowienia. Ale zostawmy tę niewytłumaczalną na gruncie fizyki newtonowskiej wątpliwość – trzeba wymyślić jakieś nowe transformacje dla pola e-m. I to „szczęśliwie” da się zrobić:

E’ = E + u×B
B’ = B – μ₀ε₀u×E

No, ale nie wiadomo, dlaczego miałyby być one akurat takie. To znaczy z punktu widzenia STW ich sens jest jasny: to granica relatywistycznych wyrażeń transformacyjnych dla pola e-m, gdy v/c→0.

Załamanie

Jazda zaczyna się, jak w pole wokół takiego pręta wsadzimy mały ładunek próbny o tym samym znaku co ładunek pręta i zobaczymy jaka siła na niego zadziała. Oczywiście siła Lorentza:

F = q(E +v×B)

No i teraz w układzie „nieruchomym” mamy siłę odpychającą ładunek, co jest jak najbardziej zgodne z intuicjami szkolnymi: „jednoimienne” się odpychają. W „ruchomym” obok takiej samy siły odpychającej pojawi się siła przyciągająca – oddziaływanie poruszającego się ładunku z polem magnetycznym (teraz ładunek porusza się z tą samą prędkością co pręt). To też zgadza się ze szkolną wiedzą: w końcu prądy płynące w tym samym kierunku się przyciągają. Jest to jednak w jawnej sprzeczności z warunkiem transformacyjnym (4). Wartość siły wypadkowej po przeliczeniu:

$F = { q \lambda \over 2 \pi r }( {1 \over \epsilon_0 } –v^2 \mu_0 }$

Co więcej, dla pewnej prędkości suma obu sił będzie równa 0 (zero). Ciekawscy obliczą sobie ile taka prędkość wynosi. Jest to już kompletnie bezsensowny wynik, bo oznacza, że w jednym układzie współrzędnych ładunek będzie odpychany od pręta i „odleci”, a w drugim może „stanąć” – a dokładniej: nie zmieni się jego odległość od pręta (jeśli jego składowa prostopadła prędkości początkowej jest równa zero).

Skucha.

Co jest źle?

Są różne możliwości odpowiedzi:

Elektrodynamika jest zła, albo przynajmniej wzór na siłę Lorentza jest zły. Jeśli przyjmie się, że siła Lorentza definiuje pole E i B, to i tak sprowadza się to do tego, że elektrodynamika jest zła.
Elektrodynamika jest dobra i zasada względności Galileusza też jest dobra, tylko ta druga nie obowiązuje w elektrodynamice. Albo: zagadnienie względności ruchu w przypadku istnienia pola e-m nie jest istotne fizycznie, bo trudno znaleźć kogoś, kto rozstawiałby druciki z prądem, ładunki i co tam jeszcze i kazał takiemu układowi poruszać się wzdłuż korytarza, mierząc to wszystko w jednym z gabinetów. Albo: nie rozumiemy jeszcze dokładnie tych wzorów, ale cieszymy się, że się sprawdzają (jakbym słyszał opinię o kwantologii).
Elektrodynamika jest dobra ale tylko w jednym układzie współrzędnych. Czyli zasada względności Galileusza jest niedobra i to na całego. Istnieje wyróżniony, „nieruchomy” układ współrzędnych, mamy kłopoty z II zasadą dynamiki Newtona.
Elektrodynamika jest dobra i to we wszystkich układach odniesienia, ale trzeba zmienić zasadę względności. I tą drogą poszedł twórca (lub jak kto woli twórcy) STW.

STW nie musi być jedynym wyjściem z powyższego impasu. Jak napisali w swej wyjątkowej i dobrej książce „Elektrodynamika klasyczna” Ingarden i Jamiołkowski: Oczywiście powstaje naturalne pytanie, czy wyczerpano wszystkie warianty pogodzenia elektrodynamiki z fizyką Newtona i Galileusza. Nie można dać tu odpowiedzi kategorycznej, gdyż skończoną liczbę faktów doświadczalnych zawsze można wyjaśnić za pomocą wielu teorii. Jak widać na powyższym przykładzie nie jest prosto pogodzić te dwie teorie. Ale, drodzy obalacze STW, do odważnych świat należy!