O prędkości fali e-m

Postulatem STW, który wciąż kłuje w oczy jej krytyków, jest żądanie by prędkość światła była jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Trzeba uczciwie powiedzieć, że jest wyjątkowo nieintuicyjny.

Uprzedzam, że notka nie zawiera wyprowadzenia tego postulatu z równań Maxwella – na to potrzeba jednak trochę zaawansowania matematycznego – a jedynie daje pewne intuicje. Jeśli jednak ktoś zechce przeczytać, co można powiedzieć o tzw. monochromatycznej płaskiej fali e-m, to oprócz intuicji, może czegoś się jeszcze nauczy?

Najprostsza fala e-m.

Żeby nie wgryzać się w zawiłości matematyczne, od razu założymy sobie pewną, najprostszą, postać pola E i B:

E_z = E₀ sin( kx–ωt )
B_y = B₀ sin( kx–ωt )

reszta składowych pól równa jest zero. Można znajdować bardziej skomplikowane rozwiązania równań Maxwella, ale poprzestaniemy na powyższym. Rzut oka osoby, która obeznana jest z ruchem falowym, wystarczy by stwierdzić, że jest to fala poruszająca się w kierunku osi X, drgania pola E odbywają się w kierunku Z, a B w kierunku Y.

Pora teraz pokazać że powyższe pole e-m spełnia równania Maxwella. Niestety trzeba będzie umieć różniczkować, co mam nadzieję, że nie będzie blokadą dla potencjalnych czytelników. Jak widać poniżej pojawiają się operatory różniczkowe rot, div – gdyby ktoś chciał sam przeliczyć sobie wyprowadzenia z notki a nie wiedział co to są owe różniczkowania, może zajrzeć tu, no i tu.

rot H – (∂/∂t)D = j
rot E + (∂/∂t)B =0
div B =0
div D = ρ

Ponieważ nie mamy źródeł pola, co może oznaczać, że są one dostatecznie daleko od obszaru naszej fali, równania się uproszczą. Dodatkowo niech nasza fala leci w próżni, co uprości związki materiałowe.

rot H = (∂/∂t)D (1)
rot E = –(∂/∂t)B (2)

Spełnienie dwóch ostatnich równań zostawiam jako ZTS, tym bardziej, że nic nam one nie powiedzą na temat dość niefrasobliwie wpisanych stałych ω i k, które jak się okaże nie mogą być tak całkiem dowolne. Tyczy się to zresztą również amplitud E₀ i B₀.

Podstawmy pola do równania (1). Lewa strona (tylko składowa Z będzie różna od zera):

$(rot H)z = -{B_0 k \over \mu_0 } \cos(kx-ω t)$

Prawa strona:

${\partian D_z \over \partial t } = - \epsilon_0 ω E_0 \cos(kx-ω t)$

To samo tylko dla równania (2). Lewa strona:

$(rot E)_y = k E_0 \cos(kx-ω t)$

Prawa strona:

${\partial B_y \over \partial t} = B_0 ω \cos(kx-ω t)$

Porównanie stałych znajdujących się przy cos(kx–ωt) daje następujące warunki (opuszczę obliczenia, ale może ktoś mnie sprawdzi i sam policzy?):

$ω = k / \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} B_0 = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} E_0$

Analiza fali płaskiej:

f(x,t) = f₀ sin( kx – ωt ) = f₀ sin( 2πx/λ – 2πt/T )

podpowiada jak mamy interpretować k i ω, oraz pozwala obliczyć prędkość takiej fali:

$v = {\lambda \over T} = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$

No to policzyliśmy ile wynosi prędkość przykładowej fali e-m. Zauważmy, że nie zależy ona od parametrów fali (długość fali, okres) a jedynie od własności przestrzeni czyli stałych „materiałowych” dla próżni. Prędkość taka będzie obowiązywać więc dla każdej monochromatycznej fali płaskiej spełniającej równania Maxwella, jaka ona by nie była.

Oczywiście chciałoby się, żeby taka fala płaska w innym układzie współrzędnych też była dobrą falą płaską, która jak najbardziej spełnia równania Maxwella.

W innym układ odniesienia.

Zmienimy układ współrzędnych na poruszający się w tym samym kierunku co fala czyli wzdłuż X.

I znów tak jak w poprzedniej notce założymy, że przetransformujemy pole według transformacji Galileusza i podstawimy do równań Maxwella. Od razu pojawia się problem jak transformować współrzędne pól E i B. Nie ma żadnej podpowiedzi ze strony fizyki newtonowskiej jak to robić, ale mamy „najlepiej dopasowane” przekształcenia jeszcze z poprzedniej notki[*].

E’ = E + u×B
B’ = B – μ₀ε₀u×E

Analiza powyższych przekształceń podpowiada, że po przejściu do układu poruszającego się wzdłuż osi X, zmienią się amplitudy E i B, ale ich kierunek będzie taki sam jak w poprzednim układzie – „poprawka” do E będzie prostopadła do u i do B, podobnie będzie dla B.

Tak więc napiszę teraz jak może wyglądać przetransformowane pole. Zależność od współrzędnych uzyskałem przez podstawienie: x’ = x–ut, czyli x = x’+ut.

E'_z = E'₀ sin( kx'+kut–ωt )
B'_y = B'₀ sin( kx'+kut–ωt )

I znów krótka analiza powie nam, że to fala o takiej samej długości fali jak w poprzednim przypadku, tylko jej prędkość będzie równa v’=v–u. Co jest jak najbardziej spodziewane, dla osoby ufającej przekształceniom galileuszowskim.

Podstawienie tych fal do równań Maxwella – opuszczę tu krótkie wyprowadzenie, koncentrując się na wyniku – da warunek:

ω² = (ω-ku)²

Jak widać taka fala spełnia równania elektrodynamiki, tylko wtedy gdy u=0. A przecież według najlepszej wiedzy to ta sama fala, tylko przetransformowana po galileuszowsku do innego układu współrzędnych. Czyli dla równań Maxwella takie transformacje są złe. Więc albo zdecydujemy się na wyróżniony układ współrzędnych, albo transformacje trzeba poprawić, jeśli nie chcemy się pozbywać zasady względności ruchu.

Jakoś fizycy nie przyjęli do wiadomości, że elektrodynamika obowiązuje tylko w jednym, jedynym układzie współrzędnych i woleli udoskonalić zasadę względności.

Jak już napisałem, powyższe wyprowadzenia nie stanowią dowodu, że z elektrodynamiki wynika postulat jednakowej prędkości fal e-m we wszystkich układach inercjalnych. Widać jednak, że „intuicyjne”, galileuszowskie przekształcenie fazy fali nie pasuje do równań Maxwella. Widać też wyraźnie, że fale płaskie mogą być rozwiązaniami równań elektrodynamiki, jeśli ich prędkość będzie równa:

$v = {\lambda \over T} = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$

Analiza równania falowego – na którą tu nie ma miejsca, bo to dość skomplikowana matematyka – pokazuje, że taka prędkość przynależy w ogóle falom e-m w próżni. W dowolnym układzie gdzie tylko obowiązują równania Maxwella.

Uwaga do [*]

Aż się prosi by w minimalny sposób przedyskutować transformacje pola e-m, gdy przechodzimy z jednego układu inercjalnego do drugiego. Przede wszystkim, jeśli ktoś stoi na stanowisku, że poruszając się względem ładunku nie zaobserwujemy pola magnetycznego, to pewnie zaproponuje: E’=E i być może B’=B (takie „przekształcenia” są dla fizyka tak niedobre, że aż bolą zęby). Dla rozumowania zawartego w niniejszej notce nie będzie to miało znaczenia, bo niezgodność z równaniami Maxwella wynika już ze „złej” fazy fali.

Także te „najlepiej dopasowane” przekształcenia są nie są do końca ścisłe, bo transformując dwukrotnie – najpierw z jednego układu do drugiego a potem z powrotem do pierwszego, pojawią się człony proporcjonalne do u²/c². Dla osoby znającej STW nie wywoła to zdziwienia – są to przybliżone wzory, które uzyskano z tych prawdziwych przez przejście graniczne u/c→0, a więc w tym ujęciu człony z kwadratowym u są zaniedbane. Problem nie pojawi się jeśli zastosujemy ścisłe transformacje. Tyle, że jeśli ktoś nie uznaje STW, to i nie uzna tych ścisłych.

Znalezienie transformacji „poprawnych dla krytyka STW” jest trudnym wyzwaniem. Warto o tym pamiętać, jeśli ktoś będzie chciał obalać STW. I tu mam nieprzyjemną wiadomość dla „obalaczy”. (Nie)stety nauka zorganizowana jest tak, że ci, którzy proponują nowe teorie, muszą przekonać do siebie wyznawców „obowiązujących” teorii. W 1905 roku taki obowiązek ciążył na Einsteinie. Dziś STW jest teorią uznawaną przez ogół fizyków, więc jeśli ktoś ma za pazuchą gotową teorię, która miałaby zastąpić STW powinien przygotować się na pytania rodzaju: „Jak będą wyglądać wzory transformacyjne dla pola e-m?”. I jeśli nie będzie umiał na nie odpowiedzieć, to na pewno „oficjalna” nauka nie potraktuje go poważnie. Bo niby dlaczego miałoby być inaczej? Skoro ktoś mi chce sprzedać nową wersję, to naturalnym jest pytanie o wszystkie dotychczas używane funkcjonalności starej.