Dwa czasy w STW

Serię kilku notek o STW zamykam krótką rozprawką o czasie. Nie będą to jednak pseudofilozoficzne wynurzenia o naturze czasu – raczej kilka „technicznych” uwag. O ile wcześniejsze notki miały na celu przekonanie niedowiarków o słuszności STW, to adresatem niniejszej są raczej osoby znające teorię. Może komuś się przyda.

Osobliwy pomysł – kosmiczny bliźniak się kurczy

Punktem wyjścia niech będzie zdanie jakie wyczytałem gdzieś w latach 80-tych w prawdziwej, drukowanej książce o nieprawidłowościach w fizyce. Autor radośnie tworząc zadawał kłam przesądom światło ćmiącym i proponował swoje dziarskie pomysły. Jednym z nich było poszerzenie paradoksu bliźniąt o wymaganie, by ten kosmiczny bliźniak nie tylko był młodszy ale i krótszy.

Argument był na pierwszy rzut oka rozsądny: Skoro w STW mamy dylatację czasu oraz skrócenie odległości Lorentza dla obiektów które się poruszają, to dlaczego po przylocie bliźniak ma być jedynie młodszy? Jest młodszy, bo działała na niego dylatacja czasu, a przecież drugim efektem jaki temu towarzyszył było skrócenie odległości. No to skoro jest młodszy to i musi być krótszy (jeśli ustawił się odpowiednio do kierunku ruchu, bo mógł być jeszcze spłaszczony „w poprzek”, albo jeszcze inaczej zdeformowany).

Autor tej osobliwej książeczki oprócz kilku innych rzeczy, pomylił dwie wielkości nazywane trochę nieszczęśliwie tym samym wyrazem „czas”.

Współrzędna czasowa

Pierwsza z tych wielkości to jedna ze współrzędnych w inercjalnym układzie odniesienia. Oprócz tego czasu są jeszcze trzy współrzędne przestrzenne.

Jak mamy dwa różne układy współrzędnych, to współrzędne tego samego punktu czasoprzestrzeni[1], mogą być różne. Jak przeliczać owe współrzędne w STW mówią przekształcenia Lorentza i Poincarego. Wprowadzają one kilka ciekawych „efektów” jakich nie ma w fizyce newtonowskiej. Odległości czasowe i przestrzenne między dwoma punktami czasoprzestrzeni zależą od tego, jaki układ współrzędnych wybierzemy. O ile fakt ten dla odległości przestrzennych nie budzi raczej zdziwienia[2], to zależność odległości czasowych od układu, zwana dylatacją czasu jest czymś nowym. Wbrew temu, co sądził autor wspomnianego „dzieła” skrócenie lorentzowskie jest ciutkę skomplikowańszym efektem od dylatacji czasu i polega na czymś innym[3].

Niektórzy fizycy mówiąc „czas” myślą zwykle o współrzędnej czasowej, co w dużej mierze ogranicza ich rozważania do ruchów jednostajnych, co, jak zobaczymy poniżej, może wprowadzić pewne nieporozumienia.

Tajemniczy niezmiennik

Odległość czasowa i przestrzenna między punktami zależą od wyboru układu. Ale wielkość Δs dana wzorem:

(Δs)² = (cΔt)² - (Δr)²

jest taka sama w każdym układzie inercjalnym. Dlatego nazywa się ją niezmiennikiem[4]. Co ona oznacza? Weźmy dla przykładu jakieś ciało co to się nie porusza i wybierzmy jakieś dwa punkty z jego „ruchu” – będą różnić się współrzędną czasową, ale Δr będzie równe zero. Obliczone Δs będzie oznaczać odcinek czasu (przemnożony przez c) jaki zarejestrowałby to ciało, gdyby miało zegarek. Nazywa się on czasem własnym i to ten drugi czas o jakim mówi się w STW.

Przypadek ruchu jednostajnie prostoliniowego nie jest jakiś fascynujący i dzięki podpowiedziom pochodzącym z geometrii[5] można znaleźć taki czas własny, gdy ciało porusza się dowolnym ruchem. Trzeba wycałkować wspomniany niezmiennik po drodze jaką przebywa ciało, tyle, że droga całkowania jest krzywą w przestrzeni czterowymiarowej. Poniższy wzór jest napisany tak, by s rzeczywiście wyrażone było w jednostkach czasu:

$s = \int_{{\rm droga} } \sqrt{1 -{1\over c^2}\left( {{\rm d}{\bf r}(t)\over{\rm d}t}\right )^2 }\ {\rm d}t$

Tak właśnie oblicza się czas występujący w słynnym paradoksie bliźniaków. Żeby porównać czasy dwóch obiektów, to muszą one:

na początku znajdować się w tym samym miejscu i tym samym czasie – włączamy zegarki „własne”.
potem sobie podróżują – oba zegarki liczą sobie czas po swojemu;
na koniec znów się spotykają i możemy porównać wskazania ich zegarków.

Ten który leciał szybciej, a ściślej: ten który doznawał większych przyspieszeń będzie młodszy[6]

Przykłady książkowe pokazują zwykle ruch kosmicznego bliźniaka jako dwa odcinki ruchu jednostajnego tam i z powrotem. Wybór taki jest mylący, bo sugeruje użycie współrzędnej czasowej a nie czasu własnego. Ma jednak tę, jedyną, zaletę, że daje się łatwo policzyć. Ma po za tym dwie wady, bo po pierwsze jest mylący, a po drugie, natychmiastowe zawrócenie z drogi oznacza nieskończone przyspieszenie. Oj, nawet nie chcę myśleć jaki straszliwy los czeka w tym miejscu na bliźniaka i jego rakietę.

Tak czy siak, bliźniakowy model na stałe wszedł do kultury codziennej i się tego nie zmieni. Tym bardziej, że komuś chciało się wydać pieniądze na lot samolotu wyposażonego w niezwykle dokładne zegary. A przecież efekt spowolnienia czasu własnego dotyczy każdej poruszającej się cząstki. Co więcej jeśli taka cząstka samoczynnie się rozpada, to ten czas można nawet mierzyć. Mówiąc nie do końca ściśle ale obrazowo: im szybciej się porusza tym dłużej żyje dla nas – jej czas własny jest krótszy od naszego.

Ale te bliźniaki są bardziej medialne.

[1] W terminologii STW punkt taki nazywany dla niepoznaki jest zdarzeniem.

[2] Możliwy protokół policyjny: Podejrzany w godzinach do 22 do 23 przejechał pociągiem odległość między Warszawą a Psią Wólką. Według świadków w tym czasie nie opuszczał przedziału, bo spał nigdzie się nie ruszając.

[3] Chodzi w nim o to, że długość kija zależy od układu odniesienia. Zauważmy, że dwa punkty czasoprzestrzeni oznaczające końce kija w chwili t, w innym układzie współrzędnych będą miały różne współrzędne czasowe. Ale zostawiam te rozważania, bo zaraz wejdę na grunt zajęty przez pręty i zegarki a jak już pisałem niezbyt lubię ten temat.

[4] Według mnie niezmienniki w fizyce, i tu pewnie narażę się innym fizykom, są nieco przeszacowane. Takim niezmiennikiem na przykład w geometrii euklidesowej jest długość wektora. Liczy się ją ze zwykłego twierdzenia Pitagorasa, dodając kwadraty trzech składowych i biorąc z nich pierwiastek. W każdym układzie współrzędnych wynik ma wyjść taki sam. No wychodzi pod warunkiem, że nasze układy są kartezjańskie. Ale jak układy są krzywoliniowe albo nieprostokątne, wzór na długość wektora nie będzie już dobry. Co wtedy robić z niezmiennikiem?

[5] Osoby nieco obeznane od razu zobaczą podobieństwa do wzoru obliczającego długość krzywej w geometrii euklidesowej.

[6] Skoro odwołuję się ciągle do przypadku euklidesowego, to czas własny można porównać do licznika w samochodzie. Pomimo, że dwie osoby jechały z tej samej Warszawy do tego samego Krakowa, nie muszą mieć tyle samo przejechanych kilometrów. Podobnie dwóch bliźniaków po przebyciu różnych dróg z jednego punktu czasoprzestrzeni do drugiego nie muszą mieć przeżyte tyle samo czasu.