Trudności elektrodynamiki

Tytuł nie jest wbrew pozorom prowokacyjny. Każdy porządniejszy podręcznik elektrodynamiki powinien posiadać rozdział o podobnym tytule.

W serii notek o STW, starałem się pokazać, że pozorne niedogodności elektrodynamiki, tak naprawdę okazały się jej zaletami, bo wymagały wprowadzenia poprawek do praw dynamiki Newtona, tworząc STW właśnie. Ale niektóre bolączki pozostały bolączkami i to o dość poważnym charakterze, co postaram się względnie przystępnie opisać.

Osobne pola i ładunki

Elektrodynamika działa w ten sposób, że znając ładunki i prądy obliczamy postać pola e-m, które jest przez te ładunki wytworzone. Z drugiej strony, jak wiemy jakie jest pole e-m, to siła Lorentza pozwala napisać równania ruchu dla cząstek naładowanych. Nie ma natomiast połączenia tych dwóch podejść.

Oznacza to, że mając początkowo dwa nieruchome ładunki policzymy jakie jest pole elektryczne, ale równania Maxwella w żaden sposób nie podpowiedzą nam, że tak naprawdę, te ładunki w wyniku odpychania zaczną się od siebie oddalać, co spowoduje zmiany pola e-m, a co za tym idzie siła odpychania będzie coraz to inna itd.

Na tę wadę zwrócono szczególniejszą uwagę po sformułowaniu ogólnej teorii względności, gdzie ruch maso-energii (ładunku grawitacyjnego) jest dopasowany do ruchu pola grawitacyjnego. Żeby dostać taki efekt, równania ruchu muszą być nieliniowe, co w tym akurat przypadku niekoniecznie jest zaletą, ale o tym słówko na koniec notki.

Cząstka punktowa

O ile poprzednia wada nie jest jakaś druzgocąca – po prostu trzeba znać granice stosowalności teorii, to następna jest już poważniejszego kalibru.

Pole elektromagnetyczne posiada energię. Gdyby było inaczej nie działałoby radio czy prądnice, gdzie mamy do czynienia ze zmianami energii i jej przepływem, właśnie za pomocą pól e-m. Elektrodynamika proponuje formułę według należy liczyć ową energię. Poniżej wzór mówiący ile takiej energii znajduje się w objętości V:

$E_{em} = {1\over 2}\int_V ({\bf E}\cdot{\bf D}+{\bf H}\cdot{\bf B}){\rm d}V$

No i o ile formuła dobrze się sprawdza z energią promieniowania, to jest kłopot z polem „przypisanym” do ładunku – w przypadku ładunku nieruchomego jest to pole kulombowskie. Dokładniej rzecz biorąc kłopot mamy z cząstką punktową, na przykład z takim elektronem. Zobaczmy na czym to polega: dla prostoty przykładu weźmy sobie nieruchomy elektron znajdujący się w środku układu współrzędnych, który wytwarza najznańsze na świecie pole kulombowskie.

${\bf E} = {e{\bf r}\over 4\pi\epsilon_0 |{\bf r}|^3}$

No i przy obliczeniu energii, wyjdzie całka:

$E_{em} = \int {e^2\over 32\pi^2 \epsilon_0 r^4}{\rm d}V \\ = \int {e^2\over 8\pi \epsilon_0 r^2}{\rm d}r = -\left. { e^2\over 8\pi \epsilon_0 r} \right|_0^\infty$

Jak widać, dolna granica całkowania daje dzielenie przez zero: całka jest nieskończona.

Od czasu, kiedy energia jest rozumiana jako ładunek grawitacyjny, taki wynik jest co najmniej bezsensowny: elektron „ciągnął by za sobą” nieskończoną masę. No i co robić? Można założyć, że elektron nie jest cząstką punktową tylko ma pewne skończone rozmiary (około 10^-15m) i ładunek jest rozmyty. Wtedy wartość całki będzie skończona. No i wcale z tym nie jest lepiej, bo pojawiają się dodatkowe „efekty”: rozproszony ładunek odpychałby się rozsadzając elektron, musi więc istnieć jakaś siła, która trzyma go razem. Rodzi to kolejne wątpliwości, które dość obrazowo opisane zostały przez Feynmana w jego „Wykładach z fizyki” tom 2.2.

Mimo starań teoretyków, problemu nie udało się rozwiązać, tym bardziej że doświadczenia raczej nie pokazują, by elektron był kulką o promieniu 10^-15m. Wątpliwości fizyków czy elektron rzeczywiście jest punktowy dotyczą rozmiarów poniżej 10^-20m, czyli kilka rzędów mniejszych.

Można oczywiście powiedzieć, że powyższa całka pokazuje jak zachowuje się makroskopowo pole e-m, natomiast zupełnie nie dotyczy skal „kwantowych”. Przecież nikt nie martwi się, że taki elektron krążąc wokół jądra (zwykle) nie promieniuje, choć jego brat bliźniak w antenie radiowej wysyła fale e-m aż miło. Po prostu nie można stosować modeli klasycznych do sytuacji, gdzie rozmiary układu są rzędu rozmiarów atomów. Może tu jest tak samo? Jak spojrzymy na pole e-m „w powiększeniu”, to makroskopowe prawa Maxwella nie muszą się stosować dla takich małych odległości. Bo prawdziwsza będzie teoria kwantowa.

Pomimo, że mi akurat bliski jest powyższy pogląd, to fizycy raczej go nie podzielają. W elektrodynamice kwantowej podobne całki są na porządku dziennym i ich zwalczanie nazywa się renormalizacją. Zdaje się, że powszechny jest pogląd, że w teorii kwantowej punktowość cząstki jest dużą przeszkodą i to ona m.in. jest odpowiedzialna za to, że trzeba usuwać niesławne nieskończoności. Może więc, gdyby udało się otrzymać taką wersję elektrodynamiki, gdzie ładunek punktowy nie miałby nieskończonej energii, to lepiej by się ona kwantowała?

Prób rozwiązania tych problemów…

…było wiele. Chyba najbardziej znaną próbą zwalczenia obu bolączek elektrodynamiki jest teoria Borna-Infelda. Zaproponowali oni pewną modyfikację równań Maxwella. W ich wersji są już one nieliniowe, a formuła na energię pola e-m jest tak dobrana, że pole e-m ma skończoną energię. Tak pisze o niej Iwo Białynicki-Bilrula: Wydaje się, że elektrodynamika nieliniowa Borna-Infelda jest wolna od trudności elektrodynamiki Maxwella-Lorentza. Jednakże, ze względu na trudności w rozwiązywaniu równań nieliniowych, bardzo niewiele udało się na jej podstawie obliczyć. Do tego trzeba dodać, że teorii tej (jak i innych) nie udało się skwantować.

Czyli skucha.