Czy potencjały są fizyczne?

Niektóre techniki matematyczne zrobiły w fizyce dużą karierę. Do takich należy choćby „zamiana zmiennych” choć fizycy wolą zdecydowanie mówić wtedy o „niezmienniczości” – zwykle ze zmianą układu współrzędnych wiąże się również istotna treść fizyczna, więc lepiej zaakcentować to poważniejszym terminem. Ciekawe, że z takim „całkowaniem przez części” nie powiązano jakiegoś fascynującego zagadnienia fizycznego i jest ono tylko i wyłącznie rachunkową techniką.

Do takich słów-kluczy należy „cechowanie”. Pojawiło się w elektrodynamice jako kawałek takiej techniki rachunkowej, ale karierę zrobiło nadzwyczajną. Jednak może od początku.

Żeby rozwiązać równania Maxwella, trzeba znaleźć 6 funkcji: 3 współrzędne pola elektrycznego i 3 magnetycznego. Równania są zresztą w postaci dość zawikłanej i te funkcje „mieszają się” ze sobą utrudniając rozwiązanie. Sposobem na ułatwienie, jest wprowadzenie tzw. potencjałów pola. Jest ich cztery (a więc mniej) i równania na nie są łatwiejsze, co więcej na każdy potencjał jest osobne równanie, więc każdy można znajdować osobno. Jak obliczymy sobie te potencjały to pole e-m dostajemy przez zwykłe różniczkowanie:

$E = -grad \varphi - {\partial A \over \partial t}, B = rot A$

No i to zaczynają się schody, bo taki potencjał (φ, A) nie jest wyznaczony jednoznacznie. Mogą być dwa różne potencjały, które dadzą to samo pole e-m. Dodanie pochodnej dowolnej funkcji do potencjałów, da to samo pole e-m:

$\varphi' = \varphi - {\partial f\over \partial t} A' = A + grad f$

W ramach ćwiczeń można sobie te „inne” potencjały podstawić do wzoru na E i B. Przy polu B pojawi się człon rot grad f, który jest równy zero, bo rotacja z gradientu jest zawsze równa zero. Zerowanie się dodatkowego członu przy obliczaniu pola E zostawiam jako ZST, które przy pierwszym przeliczeniu daje dużo satysfakcji.

Ta wieloznaczność w elektrodynamice, zwana swobodą cechowania, nie stanowi żadnego problemu, bo potencjału nie da się zmierzyć, to jedynie zestaw pomocniczych funkcji o których się zapomina, jak już rozwiąże się problem. Tak, jak przy obliczeniu całki zapomina się o „pomocniczej zmiennej”.

Mechanika kwantowa

Niestety w kwantologii nie da się zapomnieć o potencjałach. Zacznijmy od przypadku, kiedy pole e-m możemy traktować klasycznie a cząstki kwantowo, czyli od zwykłego równania Schrödingera. Żeby uwzględnić wpływ pola e-m, trzeba nieco przerobić to równanie:

$i\hbar \partial _{t}\psi = \left((1/2m)(-i\hbar \nabla -e{\bf A})^{2}+e\varphi \right) \ps$

Oj, brzydkie potencjały! Chcemy jednoznacznego pola e-m, a nie niejednoznacznych potencjałów. Podejrzewamy, że jak wstawimy inny potencjał, dający to samo pole e-m, to rozwiązując to równanie dostaniemy inne ψ. Podejrzenie jak najbardziej słuszne, choć jak się okazuje otrzymamy jedynie inną postać matematyczną, tego samego stanu fizycznego. Dowód jest nieco trudny, więc nie będę nim tu epatował.

Gdyby więc dało się zapisać równanie Schrödingera z użyciem pól E i B zamiast φ i A, to słowo „cechowanie” spadłoby sobie z wysokiej półki na tą, gdzie znajdują się „pomocnicza zmienne” czy „całkowanie przez części”. No i w zasadzie się da. Chodzi o tzw. hydrodynamiczną postać mechaniki kwantowej. Jeżeli funkcję falową rozłożymy na iloczyn:

$\psi ({\bf x},t)=\sqrt{\rho ({\bf x},t)}\exp \{iS({\bf x})\}$

to równanie Schrödingera można zapisać następująco:

$\partial _{t}\rho =\hbox{ div}(\rho {\bf w}) \\ m\partial _{t}{\bf w} = e({\bf E}+{\bf w\times B}) - ({\bf w\cdot \nabla }){\bf w} - \hbar ^{2}\hbox{grad} \{(\rho )^{-1/2}\Delta (\rho ^{1/2})\}$

Jak widać równanie na jedną funkcję zespoloną zamieniono na równania na cztery funkcje rzeczywiste: ρ, które jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki i w – wektor pola prędkości. W równaniach tych nie występuje potencjał A, lecz jedynie B i E! No i jeśli wydaje się nam, że pozbyliśmy się już potencjałów, to się mylimy: owo pole prędkości jest określone jako:

${\bf w} = {\hbar \over m}\hbox{grad} S- {e\over m}{\bf A}$

Co prawda, znaczenie fizyczne ma tu pole w, a nie faza S czy potencjał A, ale cień niepokoju zostaje.

Mała uwaga: W powyższych rozważaniach pominąłem spin, ale da się go uwzględnić, i nie zmienia on tego co wypisałem o potencjałach, za to komplikuje i tak srogie, przecież wzory.

Kwantowa teoria pola

Przypadek, kiedy zarówno naładowane cząstki jak i pole e-m musimy traktować kwantowo, nazywa się elektrodynamiką kwantową (QED). Co ciekawe do opisu fotonu używa się takich samych równań Maxwella, jak do pól klasycznych. Dziwne to, bo nie zawiera ono przecież stałej Placka. Ale mniejsza o to. Formalizm QED zdecydowanie woli używać potencjałów zamiast pól E i B. Wciąż mają tam jeszcze charakter pomocniczy, choć z ich niejednoznacznością jest tam sporo zamieszania, więc termin „cechowanie” używany jest dość intensywnie.

Uogólnienie pola e-m na oddziaływania słabe i silne, wprowadza się poprzez równania pól Yanga-Millsa (pole e-m jest szczególnym, najprostszym przykładem takiego pola). I jeśli jeszcze nierelatywistyczna mechanika kwantowa dawała jakieś szanse na to, żebyśmy zapomnieli o paskudnych potencjałach, to równania te, będące podstawą obowiązującego Modelu Standardowego nie pozostawiają takich złudzeń. Tensory pola to nie tylko pochodne potencjałów – znajduje się w nich człon zależący od nich kwadratowo!

$F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+g\sum_{bc}f^{abc}A_\mu^bA_\nu^c$

Cechowanie jest bardziej pokręcone niż dla pól e-m, ale również obowiązuje. W powyższym wzorze pojawiły się dodatkowe indeksy, bo do opisania np. takiego pola gluonowego potrzeba aż ośmiu tensorów, a każdy tensor to, jak pamiętamy, sześć funkcji. W dodatku tensory nie są niezależne, bo odwzorowanie f „miesza” potencjałami. Nic dziwnego, że nie da się rozwiązać równań opisujących te pola, co nie oznacza, że na ich podstawie nie da się niczego obliczyć. Wręcz przeciwnie. Ale wróćmy do głównego tematu.

Choć wydaje się, że dla tych pól nic już nie uchroni fizyki od uznania fizyczności potencjałów, to wcale nie musi być tak „źle”. Przecież całe to pole jest wielkością pomocniczą, którego nie da się zmierzyć. Tensory pola i ich potencjały służą do obliczania rozmaitych rzeczy: masy cząstek np. takiej Λ, Ξ czy Δ, prawdopodobieństwa ich rozpadu czy czasu życia. Model Standardowy produkuje sporą ilość tego typu wyników, co budzi zrozumiały respekt. Mimo to, pola tam występujące, same w sobie nie „poddają się” pomiarom.

„Zwykłe” pole e-m definiowaliśmy jako przyczynę powstawania siły Lorentza:

F = q(E + v×B)

Jeśli na ładunek próbny działała siła, oznaczało to, że w danym punkcje przestrzeni istniało pole zgodne z powyższym wzorem. W przypadku kwantowym, definicja ta traci sens, bo jakoś trudno wyobrazić sobie, że przygotujemy sobie jakiś mały ładunek próbny, wystawimy go na działanie fotonu i mierzymy siłę, dzięki czemu możemy obliczyć że w tym punkcie pole e-m fotonu wynosi tyle-a-tyle. Zresztą żeby poznać lepiej pole e-m fotonu, musielibyśmy taki pomiar powtarzać dla wielu punktów: nieco dalej i znów kawałek dalej i jeszcze raz… na tym samym fotonie. Równie bezsensowne byłoby badanie pola bozonu W czy Z, wstawiając w obszar, gdzie ów bozon istnieje, słaby (w sensie oddziaływania) ładunek próbny. Podobnie byłoby dla gluonów z małym ładunkiem kolorowym.

Kwantowe pola, pomimo podobnej postaci matematycznej, to jednak coś innego niż pola klasyczne. W tym kontekście nieco dziwi mnie, że mówi się o klasycznych pola Yanga-Millsa. Ale tak naprawdę, to jedynie kwestia terminologii, więc nie będę się upierał.

A może jednak…

…potencjały mają znaczenie są fizyczne? Zwolennicy tej tezy podają zwykle przykład efektu Aharonowa-Bohma. Na salonie opisał go dość dogłębnie Eine. Być może kiedyś też coś na ten temat napiszę, ale następną notkę chciałbym poświęcić wielkości, o której do dziś w szkołach uczą, że podlega cechowaniu, a która już jakiś czas temu straciła tę wolność.

* * *

Notka powstała jako uboczny efekt moich komentarzy na temat cechowania na blogu p. Waligóry. Przy okazji chciałbym zareklamować jego stronę http://fizyka-teoretyczna.republika.pl z kilkoma bardzo dobrymi e-bookami (że użyję tego sformułowania z braku lepszego). Miłośników najsłynniejszego w świecie zespołu muzycznego proszę o cierpliwość – do tematu na pewno wrócę.