Pozorna swoboda cechowania

Słowo się rzekło – dziś przykład wielkości którą już w szkole uczniowie poddają cechowaniu. Mowa o energii potencjalnej. Wprowadza się ją, jako coś równego pracy sił zachowawczych, tyle że brane z minusem (jak pole sił wykona pracę, to jego energia zmaleje). Praca taka jest wykonywana między jednym położeniem a drugim, więc tak naprawdę da się określić w ten sposób jedynie różnicę energii potencjalnej, a nie samą energię. Dlatego też nie ma w tym podejściu czegoś takiego, jak bezwzględna wartość energii, musimy wybrać sobie w którym miejscu będzie „zero” dla energii potencjalnej. Poniższy rysunek objaśnia tę własność.

Mamy odważnik w dole o głębokości h. Ile wynosi jego energia potencjalna przy wlocie (na wysokości gruntu) a ile już na dni dołu? Zależy gdzie ustalimy poziom „zerowy” – innymi słowy zależy jaki wybierzemy układ współrzędnych.

Po chwili namysłu, można przyzwyczaić się do tego podejścia. Tyle tylko, że prawie od 100 lat wiadomo, że to nie cała prawda, a może nawet i nieprawda.

Jak Słońce planetę

Przykład na obrazku opowiadał o energii potencjalnej grawitacji, ale tyczył się przypadku, kiedy odległości nie zmieniają się za bardzo i możno przyjąć, że pole jest jednorodne. Kiedy w szkole rozpatruje się energię oddziaływania Słońce-planeta, to trzeba zastosować już inny wzór i pani pisze na tablicy zwykle coś takiego:

Napisałem „pisze”, bo bez użycia rachunku różniczkowego, trudno obliczyć taką pracę, więc w podręcznikach zwykle się ją po prostu podaje. No i przy tym uzmysławia się uczniom, iż wzór jest dla przypadku, kiedy zero energii potencjalnej oznacza, że planeta (m) i Słońce (M) są od siebie oddalone „nieskończenie daleko”. Czyli, że nic się nie stanie, jeśli do owej formuły dodamy dowolną stałą, bo przy obliczeniach i tak wzięta jest różnica energii, więc ta stała odejmie się od siebie. Dowolność ta jest prostym przykładem swobody cechowania.

Zanim pójdziemy dalej zajrzyjmy do klasycznego podręcznika fizyki autorstwa Resnicka i Hallidey'a. Tak piszą oni o niejednoznaczności energii potencjalnej: Ponadto, zmieniając U(x) przy pomocy dodanej jakiejś stałej nie powoduje zmiany siły (…). Wszystko to oznacza, że wybór punktu odniesienia jest nieistotnym, ponieważ interesują nas zawsze raczej różnice energii potencjalnej.

Zauważmy, że zostawiają sobie otwartą furtkę – zbitka słowna zawsze raczej, brzmi jak jakiś oksymoron. Przy tym w innym miejscu zauważają, że zero energii potencjalnej zwykle ustawia się w miejscu, gdzie siła wynosi zero: dla sprężyny, będzie to położenie równowagi (ani nie ściśnięta, ani rozciągnięta); dla sił grawitacyjnych, trzeba odsunąć ciała od siebie na nieskończoną odległość, by grawitacja zanikła. I choć sposób nie jest ogólnie jednoznaczny (bo energia potencjalna może mieć kilka różnych minimów czy maksimów), to akurat dla grawitacji ten wybór cechowania jest dość wyjątkowy. Można powiedzieć: „prawdziwy”.

Ważymy energię

Od czasów powstania relatywistycznej teorii grawitacji czyli OTW, wiadomo, że ładunkiem grawitacyjnym jest wszelkiego rodzaju energia. Dość obrazowo można powiedzieć, że dowiemy się ile dane ciało ma energii, kiedy je zważymy – ale proszę nie brać tego dosłownie. I jak w tej sytuacji wygląda opowiastka o swobodzie cechowania energii potencjalnej? Kiepsko – swoboda cechowania oznaczałaby, że masa grawitacyjna układu ciał oddziałującego siłami zachowawczymi zależałaby od wyboru cechowania czyli określenia gdzie jest punkt zerowy dla owej energii. Byłoby to bez sensu.

Jeśli wyobrazimy sobie, że nasz Układ Słoneczny jest przyciągany przez centrum Drogi Mlecznej, to masa Układu, jaką powinniśmy wziąć pod uwagę, będzie suma mas Słońca i planet, pomniejszoną o energię potencjalną sił grawitacyjnych. Dla układu Słońce-Ziemia energia ta wynosi (w jednostkach masy):

E_p = 5,90×10¹⁶kg

Niby dużo, ale w porównaniu do sumy mas Ziemi i Słońca niewiele, bo raptem 3×10^-14 części masy (chyba że się gdzieś pomyliłem w obliczeniach ☺). Nawet nie wiem czy to efekt w jakikolwiek sposób mierzalny.

Mała uwaga: żeby dokładniej określić jaką masę układu Ziemia-Słońce „widziałoby” centrum galaktyki, trzeba by dodać jeszcze energię kinetyczną „składników”, czego już nie zrobiłem. Bez obliczeń można jednak zauważyć, że ponieważ Słońce i Ziemia tworzą układ związany, energia kinetyczna jest mniejsza, niż wartość bezwzględna energii potencjalnej. W sumie obie energie i tak dadzą wartość ujemną.

Zdecydowanie mierzalny efektem występuje natomiast dla jąder atomowych. Przykładowo zobaczmy ile waży jądro helu (cząstka alfa):

m_α = 4,00151 u

Porównajmy to z masą dwóch protonów i dwóch neutronów:

m_p = 1,00727 u
m_n = 1,00866 u

Jądro helu jest lżejsze niż suma mas składników. I choć trudno wyprowadzić sobie z modelu kwarkowego jak wygląda oddziaływanie pomiędzy nukleonami i ich ruch wewnątrz jądra, to jak najbardziej możemy sobie obliczyć ile wynosi energia takiego oddziaływania pomniejszona o energię kinetyczną – wystarczy odjąć od siebie masy jądra i jego składników. Z bilansu wyjdzie nam, że energia jest ujemna, równa 0,03035 jednostek masy atomowej.

2m_p + 2m_n + (ujemna energia wiązania) = m_α

Uczenie nazywa się to defektem masy. Suma energii kinetycznej i oddziaływania nazywa się energią wiązania Teraz już wiadomo skąd Słońce bierze energię do wypromieniowywania: składa sobie jądra helu i zostaje mu nadwyżka maso-energii. Nie mówiąc już o bombie wodorowej.

Refleksja na koniec

Dzisiejsza opowiastka jest dość prosta, pomimo, że koncept „ujemnej energii” (w równaniach wygląda jak „ujemna masa”) może być słabo intuicyjny. Jest jednak przykładem na to, że to, co wydaje się mieć swobodę cechowania, traci ją po bliższym poznaniu. Może los taki czeka właśnie potencjały A z poprzedniej notki?