Tytuł trochę buńczuczny i może na wyrost, ale będę pisał o tym kawałku kwantologii, który do dziś każe mi się zatrzymać i ostrożnie pochylić. Kiedyś zwrócił na niego uwagę, na jednym ze swoich wykładów prof. Jadczyk. Podany przykład trochę mnie wtedy zaskoczył, choć na sali podniosły się również głosy „no i co w tym dziwnego?”. Ale może od początku.
Swoje wywody na temat stanów mieszanych zacząłem od analogii ze światem klasycznym. Ale pogląd, że macierze gęstości, to nieco inna wersja miar probabilistycznych, nie oddaje całej prawdy. W świecie kwantowym stany mieszane mają dodatkową właściwość. Postaram się ją opisać dla najprostszego przypadku występującego w kwantologii.
Zacznijmy od tego, że klasyczne stany czyste są „liniowo niezależne”. Nie da się dodać dwóch punktów przestrzeni fazowej – nie da się utworzyć superpozycji położenia „Warszawa” i „Kraków”. Jeśli układ jest w stanie czystym „Warszawa”, to nie ma go nigdzie indziej. Taka oczywistość.
Dla kwantologii już tak nie jest. Mając dwa wektory stanów, można je do siebie dodać i po unormowaniu dostaniemy jakiś inny stan. Co więcej jeśli układ jest w stanie czystym |ψ⟩ to rozkładając go w dowolnej bazie:
dostaniemy informację, że można go zmierzyć w stanie |i⟩ z prawdopodobieństwem |ψi|2. Z tej to przyczyny stany mieszane mogą mieć zaskakujące własności.
Pomieszany spin
Żeby nie wprowadzać zbyt skomplikowanej matematyki wezmę na warsztat najprostszy model kwantowy czyli spin. Załóżmy, że mam maszynkę „produkującą” spiny skierowane wzdłuż osi X. Następnie poddaję je procesowi pomiaru, ale mierzę składową spinu wzdłuż osi Z. Wynik pomiaru to ±ħ/2 z prawdopodobieństwami 1/2. Pojedynczy pomiar da wynik albo ħ/2 albo –ħ/2. Żeby rzeczywiście potwierdzić wartość prawdopodobieństwa, takich pomiarów trzeba zrobić odpowiednio dużo.
Żeby jednak nie było za łatwo, ktoś złośliwy zasłonił wyświetlacz aparatury pomiarowej i nie znamy jakie wyniki zostały pokazane. Wiemy tylko, że po pomiarze spiny są w stanie albo „w górę”, albo „na dół”.
Średnia jakieś obserwabli A, to zgodnie z tym co napisałem w poprzednich notkach, średnia ważona:
Nietrudno zauważyć, że w bazie |z±⟩ macierz gęstości odpowiadająca takiej sytuacji fizycznej jest stanem o największym nieuporządkowaniu, czyli unormowana macierz jednostkowa.
A teraz spróbujmy lekko zmienić układ pomiarowy: Ustawmy detektor spinów, by mierzył składową w kierunku osi Y („do tyłu/do przodu”). Przed pomiarem mamy stan |x+⟩, który pomiar zmieni albo w |y+⟩ albo w |y–⟩ z prawdopodobieństwem pół na pół. Ponieważ wyświetlacz miernika wciąż jest zaklejony, potrafimy jedynie opisać uzyskany stan, jako stan mieszany i ma on tę samą postać co poprzednio, tyle, że jest zapisany w bazie |y±⟩:
Skoro macierz ta odpowiada operatorowi mnożenia przez liczbę, to jej postać jest jednakowa w każdej bazie. Czyli w obu przypadkach uzyskane macierze opisują ten sam stan.
Czegoś takiego w mechanice klasycznej nie było. To znaczy jeśli ktoś jest albo w Warszawie, albo w Krakowie, to znaczy że nie ma go np. w Poznaniu czy Łodzi. Tutaj mamy stan mówiący, że układ jest w stanie „albo w górę, albo w dół” co jest równoznaczne temu, że stan jest „albo do tyłu, albo do przodu”.
Podsumowanie
Zapiszmy jeszcze jak matematyka opisuje powyższą sytuację: Operator stanów czystych „w górę/w dół” to: |z+⟩⟨z+| i |z–⟩⟨z–|, ich mieszanina zapisana w innych bazach:
Podsumowując: stan „pół na pół; albo w górę, albo w dół” jest równoważny sytuacji „pół na pół; albo do tyłu, albo do przodu”. Obie mieszaniny niczym się nie różnią! Może dla kogoś bezpieczniej będzie powiedzieć, że nie mamy możliwości rozpoznania z którą mieszaniną mamy do czynienia. Formalizm matematyczny kwantologii mówi jednak wprost: to ten sam stan mieszany.
To właśnie wydało mi się dziwne, dwie dekady temu, na wspominanym na początku notki wykładzie.
