Układ otoczony rezerwuarem

Tańcowały dwa Michały
Jeden duży – otoczenie
Drugi mały – badany układ

Istnieje dość szeroka tradycja rozpatrywania pewnego modelu kwantowego. Chodzi o próbę opisu układu i otoczenia, zwanego czasami rezerwuarem, czasami termostatem a czasami po prostu otoczeniem.

Po co bawić się w takie klocki? Zdaje się główny powód jest taki, że podstawowe równanie ewolucji w świecie kwantowym, czyli równanie Schrödingera nie obejmuje wszystkich przypadków. Na przykład skoków kwantowych. Sam Schrödinger pisząc swoje równanie miał nadzieję, że zmieści ono w sobie skoki kwantowe. Tak się jednak nie stało. Zresztą o ile prawdopodobieństwo skoku – dla ustalenia uwagi pomyślmy o emisji fotonu – da się oszacować, to co robić z układem po skoku? Równanie Schrödingera cały czas „tkwi” w superpozycji (układ przed skokiem)+(układ po skoku). A co z następnymi skokami?

Dla osób, które zetknęły się z termodynamiką, drugi powód wyda się oczywisty – tam na porządku dziennym stosuje się podział układ+otoczenie. Tylko nazywa się je termostatem lub kąpielą cieplną. Osoby takie od razu przypomną sobie, że termodynamika nie jest odwracalna w czasie, a równanie Schrödingera jak najbardziej, co więcej dla tych najprostszych układów jego rozwiązanie potrafi być okresowe. Niestety, kłopoty z „wyprowadzeniem” termodynamiki z równań ruchu, przechodzą z mechaniki klasycznej na kwantową w zasadzie bez zmian. Wagi Boltzmanna (będę pisał o nich w notce) nie wynikają z analizy równań Newtona czy Schrödingera ale wprowadzane są w oparciu o argumenty pochodzące z rachunku prawdopodobieństwa. Wcale nie jest oczywiste, że równania ruchu muszą do nich pasować.

Te, jak i inne zagadnienia, mogą być rozpatrywane jeśli zaprzęgniemy do roboty stany mieszane, a dodatkowo ich zmiany w czasie nie będą wynikać jedynie z równania Schrödingera. Zwykle dokłada się dodatkowe człony do równania ewolucji, albo wprowadza dodatkowe postulaty. Tylko jak je uzasadnić? Poniżej taka próba.

Model

W tego typu modelach świat dzieli się na układ i otoczenie. O ile układ możemy poznać w miarę dokładnie – możemy zmierzyć i opisać jego parametry – o tyle otoczenie (zwykle, choć niekoniecznie) jest tak wielkie i pokręcone, że zadowolimy się jeśli będziemy mogli odgadnąć jego wpływ na układ. Więcej wiedzy na temat otoczenia zwykle nie mamy – może jej nie potrzebujemy, a może jest niedostępna, albo jest jej za dużo.

Ci którzy wymyślali takie modele, zaczynali od tego, że w obu połączonych częściach obowiązuje równanie Schrödingera – współcześnie równanie Schrödingera ma być dobrze określone w badanym układzie, bo otoczenie nie jest tak restrykcyjnie traktowane. No to połączmy obie części – musi pojawić się oddziaływanie, które zmieni zachowanie badanego układu. Oddziaływanie wpłynie pewnie i na otoczenie, ale jest ono i tak nam bliżej nieznane. Oczywiście kwantowy demon Laplace'a obliczyłby ewolucję stanu czystego badanego układu połączonego z otoczeniem, ale typowy fizyk demonem nie jest, więc musi zadowolić się badaniem samego układu. Co więc trzeba zrobić? Wyciąć część stanu czystego związaną z otoczeniem, wtedy jednak pozostała informacja zawarta w części dotyczącej badanego układu utworzy zwykle stan mieszany. Kilka akapitów niżej pokażę, jak owo wycięcie spowoduje utworzenie stanu mieszanego.

Zauważmy, że w odniesieniu do badanego układu pojawiła się nietypowa ewolucja: Nawet jeśli jako stan początkowy układu wybraliśmy stan czysty, to po pewnym czasie wskutek oddziaływania z otoczeniem zmieni się on w stan mieszany. Tego równanie Schrödingera nie zapewni. Trzeba więc pozwolić sobie na poszerzenie równań ruchu. Choćby dlatego, że powyższa sytuacja jest nieodwracalna. Bardzo nieściśle można argumentować to tak: ze stanu czystego można zrobić sobie stan mieszany, ale w drugą stronę nie za bardzo się da, bo w stanie mieszanym nie ma informacji o względnych fazach pomiędzy składowymi wektora.

Równania tego typu są szeroko stosowane w kwantologii, o czym w Polsce chyba najbardziej może zaświadczyć toruńska szkoła postingardenowska. O model oddziaływania układu z otoczeniem oparta jest również żurkowa dekoherencja. Poszerzone równanie ewolucji (choć bez wgłębiania się w otoczenie) jest chlebem powszednim optyków kwantowych. Nieco podobnym modelem się również EEQT prof. Jadczyka, który kilka razy o niej pisał na Salonie24.

Jak wyciąć wektor otoczenia?

No to łączymy układ i otoczenie. Zgodnie z zasadą, że jak łączymy dwa podukłady, to trzeba wziąć iloczyn tensorowy ich przestrzeni Hilberta, tak właśnie uzyskuje się zbiór stanów układu połączonego:

${\cal H} = {\cal H}_S ⊗ {\cal H}_R$

Indeksy oznaczają S-tan układu i R-ezewruar. Spróbujmy wypisać ogólną postać wektora takiego połączonego układu:

$|ψ⟩ =∑_{iα} ψ_{iα} |i⟩⊗|α⟩ ≡ ∑_{iα} ψ_{iα} |i, α⟩$

Indeksy i numerują bazę w przestrzeni stanów badanego układu H_S, natomiast α dotyczy bazy otoczenia H_R. Wektor taki ewoluuje sobie zgodnie z równaniem Schrödingera dla połączenia układ+otoczenie. No i po pewnym czasie próbujemy odpowiedzieć na pytanie o stan układu i wyciąć z wektora informacje o otoczeniu. Jak to zrobić? Zadziałam powyższym stanem czystym na sprytnie dobraną obserwablę:

$A = A_S⊗ {\bf 1}$

Przy jej tworzeniu wziąłem sobie obserwablę dotyczącą badanego układu A_S, bo znam ten układ na tyle, że wiem jakie mogą być obserwable. Otoczenia nie znam, więc zdecydowałem się na operator jednostkowy. Każdy stan otoczenia działający na taką obserwablę da w wyniku liczbę 1. Odpowiada to sytuacji – nie wiem nic o wewnętrznym stanie otoczenia i niczego się nie dowiem.

Działam więc stanem czystym |ψ⟩ na tak dobraną obserwablę i dostaję wynik:

$⟨ψ|A|ψ⟩ = ∑_{iαjβ} ψ*_{iα}ψ_{j β}⟨i,α|A|j,β⟩ =$
$∑_{iα jβ} ψ*_{iα}ψ_{j β} δ_{αβ}⟨i|A_S|j⟩ = ∑_{iαj}ψ*_{iα}ψ_{j α} (A_S)_{ij}$

Powyższa suma da się zapisać jako Tr(ρA_S), gdzie ρ jest macierzą o współrzędnych:

$\rho_ij = \sum_a \psi*_ia\psi_ja$

Może się tak zdarzyć, że powyższe wyrażenie wysumuje się do jakiegoś stanu czystego, ale zbiór takich stanów w H_S⊗H_R to zbiór miary zero.

Zauważmy, że nawet jeśli startujemy od stanu czystego |ψ_S⟩ zawartego w:

|ψ⟩ = |ψ_S⟩⊗|ψ_R⟩

to oddziaływanie może nam tę czystość zniszczyć, jeśli ograniczymy się do badanego układu i obetniemy otoczenie. Ponieważ udział otoczenia realizujemy poprzez dodanie odpowiednich członów do równania ewolucji na stanach układu badanego, więc muszą być one tego rodzaju, żeby pozwalały wyjść poza ewolucję schrödingerowską. Przy takim podejściu wcale nie musimy zakładać, że na H_S⊗H_R ewolucja jest zadana przez równanie Schrödingera. To znaczy, że można ograniczyć się do „poprawiania” równania ewolucji tylko badanego stanu.

Ten podrozdział przeznaczony był dla chorych z ciekawości. Przejdźmy więc do bardziej normalnych treści...

Typowe przykłady

Popatrzmy jak działa postulat redukcji pakietu falowego. Mierząc wielkość A w stanie |ψ⟩ możemy otrzymać jako wynik wartość własną A czyli a_i, a po pomiarze stan przejdzie w stan własny A czyli |i⟩. Prawdopodobieństwo, że pomiar da taki właśnie wynik wynosi |⟨i|ψ⟩|². Jaki wynik wyjdzie w konkretnym przypadku? Nie wiadomo, ale możemy uśrednić ten proces i napisać jak wygląda stan mieszany „po pomiarze”:

ρ = ∑_i |⟨ i | ψ ⟩|^2 |i⟩⟨ i|

Zdaje się, że ten pomysł pochodzi od von Neumanna. Otoczenie układu badanego jest aparaturą pomiarową. Jakie jest rónanie Schrödingera opisujące jej wewnętrzne bebechy trudno powiedzieć, ale oddziaływanie z nią powinno dawać takie zachowanie stanu układu, jakie narzuca uśredniona redukcja pakietu. Von Neumann próbował jakoś przegryźć co będzie z pojedynczym stanem, więc zatrudnił do pomiaru świadomość badacza, obsługującego aparaturę pomiarową. Według mnie to oszukaństwo, ale to moje zdanie.

Inny przykład: Stan przytknięty do rezerwuaru (termostatu) o temperaturze T. Badany układ ma swoją energię, której odpowiada operator H zwany hamiltonianem. Pytanie jak zachowa się nasz układ w kontakcie z otoczeniem o temperaturze T? No to zależy jak będzie z nim oddziaływał – może różnie się zachować. Można jednak określić jak będzie wyglądał „uśredniony” stan układu:

$ρ_T = {exp{–{H/ kT}} / Trexp{–{H/ kT}} }= {∑_n exp{–{E_n/ kT}} |n⟩⟨ n| / ∑_n exp{–{E_n/ kT}} }$

Ci którzy mieli coś do czynienia z mechaniką statystyczną, rozpoznają ten wzór – to po prostu zespół kanoniczny Gibbsa. Wielkości exp{–E_n/kT} to nic innego jak wagi, zaproponowane jeszcze w XIX wieku przez Boltzmanna, używane do obliczania różnych wielkości średnich. Ciekawe, że to co zwykle przeszkadza operatorowi H w kwantologii, czyli jego nieograniczoność, bardzo pomaga przy braniu eksponenty (z minusem) i śladu z niej: stan równowagi jest zwykle dobrze określony.

Tego wyniku (na razie) nie da się policzyć z równań ruchu, w czym jest podobny do postulatu von Neumanna. Jest jeszcze jedno podobieństwo: tak na dobrą sprawę nie wiadomo ile oddziaływania układu z otoczeniem wkładać do energii samego układu, a ile zrzucać na barki postulatu uśredniania. Zauważmy również swoistą „bezwzględność” obu podejść – niezależnie od tego, jakie są szczegóły oddziaływania, to stan badany i tak znajdzie się takim, a nie innym stanie końcowym.

Ponieważ cała ta seria o macierzach gęstości robi wrażenie sztywniackiej, obiecuję przymrużyć oko, kiedy dokładniej przyjrzę się stanowi mieszanemu pewnego układu kontaktującego się ze zbiornikiem cieplnym. W następnym odcinku.