Pierwsze informacje o dość dziwnym zjawisku pochodzą z roku 1922, kiedy to Stern i Gerlach przepuścili atomy srebra przez niejednorodne pole magnetyczne. Gdyby wpuścić w takie pole mały nagnesik, to zadziałaby siła proporcjonalna do tzw. momentu magnetycznego. Jest to wektor opisujący dipol magnetyczny, a bardziej przystępnie: wielkość ta mówi, jak duże jest pole magnetyczne zwykłego magnesu dwubiegunowego.
Traktując te atomy jak owe magnesiki, spodziewano się, że w zależności od ustawienia ich pola magnetycznego siła będzie różna. Na przykład: dla dipola zgodnego z kierunkiem gradientu pola zewnętrznego siła będzie maksymalna, gdy dipol będzie ustawiony prostopadle siła będzie równa zero. Ponieważ owe magnesiki atomów srebra mogą być poustawiane w różnych kierunkach, wychodzi na to, że wiązka powinna poodchylać się jak na rysunku:
Obrazek skreślony, bo przyroda się tak nie zachowuje
Atomy srebra rzeczywiście zachowały się jak magnesiki, ale tak, jakby się umówiły, żeby ustawiać się albo zgodnie, albo przeciwnie do kierunku gradientu pola zewnętrznego. Ponieważ atomy wylatujące z pieca nie miały prawa „wiedzieć” jaki będzie kierunek gradientu pola B, owo zachowanie wydało się wyjątkowo dziwne[1]. Uzyskano taki obrazek, gdzie widać, jak wiązka atomów się rozdziela:
Powyższe zdjęcie, to pocztówka wysłana 8 lutego 1922 przez Gerlacha do Nielsa Bohra. Kółko po lewej, to obraz uzyskany bez pola magnetycznego. Po prawej wiązka rozdziela się na połówki. Korespondencja zawiera samochwałkę o odkryciu jeszcze jednego przypadku kwantyzacji – w tych czasach kwantyzacja była w zasadzie równoważna dyskretyzacji – oraz gratulacje dla Bohra, że to jeszcze jedno potwierdzenie jego idei.
Wyjaśnienia
Trzy lata trwały próby dojścia do tego, co to za tajemnicze magnesy „odgadujące” stan przyrządu pomiarowego. Dodatkowy impuls do poszukiwań dołożyły niejasności przy próbie tłumaczenia widma atomów zanurzonych w pole magnetyczne. Obowiązywał wtedy model Bohra i w ramach tego modelu starano się odnaleźć wyjaśnienie zjawiska. Według tego modelu elektrony krążą wokół jąder i naturalne wydawało się, że ładunek kręcący się po orbicie może wytwarzać pole magnetyczne. Już wtedy starano się opisywać elektrony w atomach używając tzw. liczb kwantowych n, l i m, zresztą używa się ich do dziś, nie tylko w fizyce, ale i w chemii. Wkrótce zdano sobie sprawę, że niektóre z efektów oddziaływania powłok elektronowych i pola magnetycznego nie dadzą się opisać wspomnianymi n, l i m, co więcej mają one tę samą przyczynę, co zachowanie atomów w doświadczeniach typu Sterna-Gerlacha.
Najdalej w swoich dociekaniach doszło dwóch doktorantów: Goudsmit i Uhlenbeck. Założyli, że owo dipolowe pole magnetyczne, związane jest z własnym momentem pędu elektronu. Wyszli od idei wirującego elektronu, choć łatwo przeliczyli, że mając rozmiary poniżej 10-15m, na równiku musiałby mieć prędkość większą od prędkości światła, co dyskwalifikowało takie podejście. Mimo to zdecydowali się napisać małą notatkę, jako zajawkę większej publikacji, gdzie proponowali wprowadzić nową liczbę kwantową i dali do recenzji swemu szefowi Ehrenfestowi. Sami w tym czasie zwrócili się do Lorentza, żeby odpowiedział im, czy teoriopolowe podejście pozwoli na istnienie mierzonego momentu magnetycznego. Z wyprowadzenia Lorentza wyszło, że „przyelektronowe” pole e-m klasycznego ładunku, też nie wyjaśni spodziewanych efektów. No i kiedy już zrezygnowali i poszli oznajmić o tym Ehrenfestowi, dowiedzieli się, że ich notatka została wysłana przez niego do druku: Wasz komunikat wysłałem już dawno temu. Obaj jesteście na tyle młodzi, że możecie sobie pozwolić na jakieś głupstwo – miał im powiedzieć szef. No i dobrze, bo dzięki temu obaj młodzieńcy weszli do historii fizyki.
I tak nowa liczba kwantowa, dziś określana jako spinowa, zaistniała w fizyce.
Aklimatyzacja spinu do równań kwantologii
Propozycja dwóch doktorantów, nieco wyprzedziła mechanikę falową Schrödingera, ale połączenie jej z ideą funkcji falowej poszło dość łatwo (1927). Wersja równania Schrödingera uzupełnionego o spin nazywa się równaniem Pauliego. Po dołączeniu do kompletu zakazu Pauliego, dysponujemy przepotężnym narzędziem do opisu zachowania powłok elektronowych w atomach – teraz można już próbować wyliczać jak będą wyglądały wiązania chemiczne. Mówiąc wprost: z tego właśnie równania fizycy, a może lepiej powiedzieć że chemicy kwantowi, wyprowadzili układ okresowy pierwiastków. To równanie pozwoliło na wyliczenie widm (częstotliwości wypromieniowanego światła) atomów i cząsteczek – wyniki teoretyczne zadziwiająco dokładnie zgadzają się z doświadczeniem.
A teraz, dla osób nieco orientujących się w formalizmie kwantologii, wyjaśnienie jak spinowa liczba kwantowa zaistniała w opisie elektronu. Wspomniane n, l i m wynikają z rozwiązania równania Schrödingera dla atomu wodoru. Ze spinem jest inaczej: liczby s=1/2 i s=–1/2 są niezależne od zmiennych przestrzennych. Wprowadza się więc dodatkowo wektory zespolone:
Matematycznie spin zapisuje się za pomocą dwóch liczb zespolonych – przestrzeń Hilberta to H=C2. Żeby poprawnie opisać elektron w atomie, gdzie własności spinowe są istotne, trzeba pożenić funkcje falowe od Schrödingera i dwuliczbowy wektor spinowy. Wyjdzie wtedy twór złożony z dwóch funkcji falowych – jednej dla składowej „do góry”, drugiej „na doł”:
Tematu tego nie będę jednak rozwijał w dalszych kilku następnych notkach, skupiając się na samym spinie.
Jeszcze raz o tych atomach…
Nie napisałem do końca, dlaczego atomy srebra miałyby ujawniać coś, co nazwane było spinem. Atom srebra ma sporo elektronów, protonów i neutronów, więc żeby się w tym nie pogubić spójrzmy na prostszy atom wodoru. Powtórzono nawet to doświadczenie dla wiązki atomów wodoru, które składają się z jednego elektronu i jednego protonu, uzyskując identyczny wynik co dla srebra. W wodorze elektron jest na orbitalu s, co oznacza, że nie ma orbitalnego momentu pędu. Wynika z tego, że nie wytwarza pola magnetycznego, którego naiwnie moglibyśmy się spodziewać gdyby sądzić, że elektron krąży wokół jądra. Czyli pole magnetyczne powinno pochodzić od węwnętrznego momentu pędu protonu lub/i elektronu. Innymi słowy, atom wodoru składa się z cząstek, które mogą być „samoistnymi” magnesikami.
Dziś wiemy, że pole magnetyczne takiego „magnesika” jest proporcjonalne do momentu pędu (spinu) i odwrotnie proporcjonalne do masy cząstki. Nie zagłębiając się w szczegóły wychodzi, że pole magnetyczne wytwarzane przez proton jest ok. 2000 razy mniejsze od pola elektronu. Wynika stąd, że w doświadczeniu mierzymy jedynie spinowe pole magnetyczne elektronu.
W atomie srebra elektrony znajdujące się na czterech pierwszych powłokach wytwarzają pole magnetyczne (orbitalne i spinowe), które się nawzajem zerują. Pozostaje jeden elektron na powłoce piątej, który będąc na orbitalu s, posiada jedynie spinowy moment magnetyczny. Całkowity moment magnetyczny jest więc równy takiemu, który pochodziłby od pojedynczego elektronu. Pole magnetyczne jądra zaniedbujemy jako trzy rzędy mniejsze.
* * *
Skąd pomysł, by napisać o spinie? Przy pisaniu o macierzach gęstości często powoływałem się na przykład spinu, więc pomyślałem sobie, że warto napisać serię notek o tym jak spin przejawia się w formalizmie kwantologii. Będę spoglądał na to zagadnienie z różnych stron. Poziom trudności notek planuję mocno zróżnicowany – czasami będzie łatwo, czasami trudno. Na finał zaplanowałem nieco humoru dla wytchnienia.
[1] Od razu wyjaśniam że taki dipol, jak będzie sobie leciał i trafi w jednorodne pole magnetyczne, to nie zmieni przez to kierunku, bo co prawda zadziała wtedy niezerowy moment sił, ale suma sił Lorentza działających na taki magnesik, będzie równa zero.
