Splątanie kwantowe – model matematyczny

Tak jak obiecałem w poprzedniej notce, dziś spróbuję zrobić sobie model matematyczny realizujący efekt splątania kwantowego. Oznacza to, że obrzydła niektórym matematyka będzie tu brzydko straszyć. Ponieważ ostatnio skupiłem się na spinie, nie będę odnosił się ściśle do eksperymentów Aspecta i jego następców, choć na końcu notki napiszę jaki stan matematyczny odpowiada aspectowym fotonom. Niniejsza notka będzie natomiast analogią do treści z notki „Splątanie kwantowe – pierwsze podejście”

Zdaję sobie sprawę, że wyuzdanie matematyczne znów ograniczy liczbę czytelników, ale skoro obiecałem, że pokażę model, to obietnicę spełniam ☺. Osoby obyte matematycznie będą mogły zobaczyć, jak postulat redukcji pakietu przebiegle wpasowuje się w splątane stany.

Pomiar

Najpierw zastanowię się nad wymodelowaniem pomiaru, a ściślej spróbuję matematycznie uzyskać to, co dzieje się w trakcie redukcji pakietu falowego. No cóż, akurat nazwa nie do końca pasuje do spinów, ale liczy się treść postulatu…

Przed pomiarem mam jakiś stan |ψ⟩, a wyniku pomiaru mogę dostać dwa stany: |1⟩ i |2⟩. Iloczyny skalarne ⟨ i|ψ⟩, (a dokładniej ich kwadraty ich modułów), określają prawdopodobieństwa i-tego wyniku pomiaru: p(i) = |⟨ i|ψ⟩|². Korzystając z tzw. operatora rzutowego P_i = |i ⟩⟨ i|, fakt, że po pomiarze uzyskaliśmy stan |i ⟩ można zapisać tak:

P_i |ψ ⟩ = ⟨ i |ψ ⟩ |i⟩

Moduł liczby przed zmierzonym wektorem, trzeba wziąć do kwadratu i dostaniemy prawdopodobieństwo uzyskania takiego właśnie wyniku pomiaru.

Zmierzmy więc spin będący w stanie |x–⟩ w kierunku „góra-dół”. Fakt uzyskania wyniku „do góry” zapisuję:

$P_{z+} |x–⟩ = ⟨ z+|x–⟩ |z+⟩$

Przypomnijmy postać |x–⟩:

$|x–⟩ = (1/√2)\left( |z+⟩ - |z–⟩ \right)$

No i obliczmy (podstawiłem, obliczyłem i napiszę tylko wynik):

$P_{z+} |x–⟩ = (…) = (1/√2)|z+⟩$

Jak widać w wyniku podziałania P_z+ na stan |x–⟩ mamy stan |z+⟩ z prawdopodobieństwem |1/√2|²=0.5

To dla jednego stanu. A dla dwóch?

Wektor dla dwóch stanów

Teraz to już trzeba niestety zagłębić się w matematykę, a dokładniej zasadę tworzenia przestrzeni stanów dla układu złożonego z kilku części składowych. Jak mamy przestrzenie Hilberta dwóch podukładów H_A i H_B to stany układu całkowitego należą do przestrzeni: H = H_A⊗H_B. Całość się trochę komplikuje, gdy np. wiążemy ze sobą cząstki nierozróżnialne, wtedy pod uwagę brane są tylko symetryczne (bozony) lub antysymetryczne (fermiony) iloczyny tensorowe.

W takim podejściu stan opisujący dwa spiny: pierwszy „w lewo” i drugi „w prawo” będzie następujący:

|x–⟩ ⊗|x+⟩

No to stany mamy. Pora na „operator” pomiaru. Oto propozycja, jak powinien wyglądać operator odpowiadający za uzyskanie wyniku pomiaru „do góry” na pierwszym stanie:

$P_{1, z+}=|z+⟩⟨z+|⊗ {\bf 1}$

Podziałanie owym operatorem nie zmienia drugiego stanu, więc chyba powinno pasować. Zobaczmy, co się stanie jak podziałamy tym operatorem na stan |x–⟩⊗|x+⟩:

$P_{1, z+} |x–⟩ ⊗|x+⟩ = (…) = (1/√2)|z+⟩⊗ |x+⟩$

Skutek takiego działania: stan pierwszy przyjmuje wartość „do góry” z prawdopodobieństwem 0.5, drugi jest niezmieniony. Ewentualny pomiar drugiego nie będzie miał nic wspólnego z pierwszym.

To przypadek stanów niezależnych, czyli na przykład takich, co zostały osobno przygotowane, zmierzono ich rzut spinu i okazało się, że jeden z nich jest „w lewo” a drugi „w prawo”. Nie ma żadnego powodu, aby sądzić, że coś ich jeszcze wiąże. Jak natomiast realizować splątanie?

Propozycja stanów splątanych

Stany dwu-układu mogą być splątane w różnym stopniu. Poprzedni przykład opisywał cząstki niesplątane. Jednak doświadczenie, opisane w poprzedniej notce, pokazuje, że przyroda chce czasami splątywać sobie układy. Dla naszego spinowego przykładu zaproponuję taki oto stan, który poddamy pomiarom:

$φ = {1/√2}\left( |x–⟩ ⊗|x+⟩ - |x+⟩ ⊗|x–⟩ \right)$

Po podziałaniu na niego operatorem P_1,z+ – co oznacza: pierwszy spin w wyniku pomiaru przeszedł w stan „do góry” – wyjdzie:

$P_{1, z+} φ = {1/√2} \left( ⟨ z+|x–⟩ |z+⟩ ⊗ |x+⟩ - ⟨ z+|x+⟩ |z+⟩ ⊗ |x–⟩ \right)$

Po odpowiednim pogrupowaniu i obliczeniu wzór uprości się do eleganckiego wyniku:

$P_{1, z+} φ = {1/√2}\left( |z+⟩ ⊗ {1/√2}(|x+⟩ -|x–⟩ ) \right) = {1/√2} |z+⟩ ⊗ |z–⟩$

Łojej! Działaliśmy tylko na pierwszy stan, a tu proszę: spowodowało to ustalenie drugiego stanu! No dobra, można było do tego dojść trochę mniej efekciarsko, najpierw przepisując stan φ z bazy |x±⟩ do bazy |z±⟩:

${1/√2}\left( |x–⟩ ⊗|x+⟩ - |x+⟩ ⊗|x–⟩ \right) = {1/√2}\left( |z+⟩ ⊗|z–⟩ - |z–⟩ ⊗|z+⟩ \right)$

Jak widać sytuacja: „mamy dwa stany splątane góra-dół” jest całkowicie równoważna „mamy dwa stany splątane lewo-prawo”. To jeden z tych momentów kwantologii, który każe zatrzymać się chwilę i westchnąć za Feynmanem „Jeśli sądzisz, że rozumiesz mechanikę kwantową, to nie rozumiesz mechaniki kwantowej”.

Niezależnie od westchnień widać, że formalizm matematyczny radzi sobie z rozpatrywanym zagadnieniem.

* * *

A na koniec jeszcze jak wygląda stan aspectowych fotonów – literki R i L oznaczają odpowiednio stany lewoskrętne i prawoskrętne:

ψ = (1/√2)( |L⟩⊗|L⟩ + |R⟩⊗|R⟩ )

Zmieniając bazę na bazę odpowiadającą polaryzacji liniowej (nazwę sobie prostopadłe do siebie kierunki jako V i H), współrzędne wektora będą następujące:

ψ = (1/√2)( |V⟩⊗|V⟩ + |H⟩⊗|H⟩ )