Pauli splata kwantowo

Czy tak naprawdę trudno spleść sobie kwantowo dużą ilość stanów? Bardzo skomplikowane technicznie doświadczenia, gdzie owo splątanie było badane, to sprawa ostatnich dwóch-trzech dekad. A przecież korzystając z zasad mechaniki kwantowej można doszukiwać się splątania układów naprawdę wielu cząstek w całkiem codziennych sytuacjach. Może tylko trzeba będzie nieco przymrużyć jedno oko.

Pisałem niedawno ile to trudności musieli pokonać Aspect i jego zespół, żeby uzyskać dwa splątane fotony, ale istnieje przecież zdecydowanie prostszy sposób. Weźmy mianowicie najzwyklejsze elektrony. Opisuje się je funkcją falową. Istnieje prosta definicja, mówiąca że splątania nie ma, jeśli funkcja falowa całego układu da się przedstawić jako iloczyn funkcji falowych podukładów:

$\Psi({\bf r}_1, {\bf r}_2, … ) = \psi_1({\bf r}_1) \cdot \psi_2({\bf r}_2) …$

No to teraz przypomnijmy sobie jak wygląda zakaz Pauliego w języku funkcji falowych. Zakaz ten jest prostą konsekwencją nierozróżnialności cząstek[1], a takie nierozróżnialne są właśnie elektrony. Wymóg, że na jeden stan może przypadać tylko jeden elektron (czy inny fermion) realizowany jest przez zażądanie, by funkcja falowa zespołu elektronów była antysymetryczna ze względu na zamianę cząstek:

$\Psi(…, {\bf r}_{i},{\bf r}_{i+1}, …) = -\Psi(…, {\bf r}_{i+1},{\bf r}_{i}, …)$

Łatwo pokazać, że funkcja falowa nierozróżnialnych fermionów musi być maksymalnie splątana. Czyli na przykład funkcja opisująca zespół elektronów w atomie, gdzie potrafi ich być kilkadziesiąt. Albo na przykład w ciele stałym, gdzie jest ich… baaardzo dużo.

Poniższe równanie pokazuje w czym rzecz. Spróbujmy wyplątać jedną z cząstek: załóżmy, że i-ta cząstka nie jest splątana z resztą.

$\psi({\bf r}_i) \Phi(…, {\bf r}_{i-1},{\bf r}_{i+1}, …) = -\psi({\bf r}_{i+1}) \Phi(…, {\bf r}_{i-1},{\bf r}_{i}, …)$

Jak widać, założenie o antysymetryczności funkcji falowej i jednoczesne wyplątanie jednej cząstki od razu daje wniosek, że kolejna (czyli i każda inna) cząstka też jest niesplątana, co więcej jest w tym samym stanie co pierwsza cząstka. Dochodzimy do sprzeczności, bo w końcu nie może być tak, że wszystkie znajdują się w tym samym stanie, skoro każda musi być w innym.

Ile elektronów może być opisanych funkcją antysymetryczną? Zajrzyjmy do dowolnego podręcznika fizyki ciał stałych. Zobaczymy tam, że wyjaśniając np. taka strukturę pasmową czy inne przewodnictwo, autorzy stosują zakaz Pauliego do wszystkich elektronów w danym kawałku metalu. Mamy prosty sposób na splątanie, nie dwóch czy tysiąca, ale 10²⁴ i więcej elektronów.

Wystarczy wziąć kawałek drutu.

* * *

Sezon ogórkowy, sezonem ogórkowym, więc jeszcze jedno pytanie na koniec: Czy zjawisko fotoelektryczne oznacza „wyplątanie” jednego elektronu; czy może powinniśmy go opisywać, gdy już leci sobie on od katody do anody, w porozumieniu z całą resztą pozostałą w metalu[2]?

Dopisane następnego dnia:

Pożartowałem sobie aż miło, więc teraz wypadałoby napisać jeszcze coś pożytecznego. Czyli teraz blognostka będzie realizacją hasła „bawiąc uczy” ☺. Na innym blogu EMDE poprosił o wyjaśnienie czy rzeczywiście zakaz Pauliego jest logiczną konsekwencją identyczności i spinu = 1/2. Ponieważ akurat niniejsza notka dotyczy reguły Pauliego napiszę dlaczego tak jest. Zanim zanurzę się w odmęty wstrętnej matematyki, zauważę, że reguła została wymyślona zanim napisano zasady i prawa mechaniki kwantowej. Obowiązywała już w starej teorii kwantów. Czyli była jak najbardziej prawem wynikającym z obserwacji empirycznych. Niemniej po sfomułowaniu mechaniki kwantowej da się ją wyprowadzić z bardziej podstawowych zasad, o czym poniżej.

Dowód nie jest jakiś zabójczo trudny, ale wymaga małego skupienia. Przeprowadzę go dla dwóch cząstek, jak kto będzie chciał spróbuje go sobie przepisać dla dowolnej ilości. Zaczniemy od tego, że dwie cząstki opisuje funkcja falowa, której dziedziną są położenia dwóch cząstek:

ϕ( r₁ , r₂ )

Gdyby komuś chciało się wyobrazić taką funkcję, to będzie trudno, bo każde położenie to trzy współrzędne, więc dziedzina funkcji jest sześciowymiarowa.

Jak objawia się identyczność cząstek? Jak je zamienimy miejscami, to nie zauważymy różnicy. No i teraz trzeba sobie przypomnieć, że sama funkcja falowa nie ma sensu fizycznego, dopiero kwadrat modułu oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki. Czyli jeśli po zamianie cząstek mamy nie zauważyć różnicy, to oznacza to, że kwadrat modułu, a co za tym idzie moduł się nie zmieni:

|ϕ( r₁ , r₂ )| = |ϕ( r₂ , r₁ )|

Dla tych co znają liczby zespolone, będzie jasne, że taka zamiana miejscami oznaczać może co najwyżej przemnożenie przez fazę[3]:

ϕ( r₂ , r₁ ) = eⁱ^α ϕ( r₁ , r₂ )

Kiedy zamienimy położenia dwukrotnie, dojdziemy do sytuacji wyjściowej, ale pamiętamy, że zamiana to przemożenie przez fazę, więc to tak jakby funkcję przemnożyć przez tę fazę dwa razy:

ϕ( r₁ , r₂ ) = eⁱ²^α ϕ( r₁ , r₂ )

Już widać, że kwadrat owego mnożnika jest równy jeden, więc sam mnożnik eⁱ^α może być równy ±1.

Cząstki dla których eⁱ^α=–1 nazwano fermionami, a te gdzie eⁱ^α=1 bozonami. To że fermiony mają spin połówkowy jest już dodatkowym postulatem (nie wynika z innych zasada kwantologii[4]). Podobnie własności bozonowe mają tylko cząstki o spinie całkowitym.

Popatrzmy więc na fermiony, dla których funkcja falowa spełnia:

ϕ( r₁ , r₂ ) = –ϕ( r₂ , r₁ ) bo eⁱ^α= –1

Jak widać układy dwóch nierozróżnialnych fermionów opisują funkcje antysymetryczne ze względu na zamianę cząstek.

Ponieważ na pierwszy rzut oka antysymetria funkcji falowej nie jest podobna do zakazu Pauliego, spróbujmy założyć, że zakaz nie obowiązuje a funkcja mimo to jest antysymetryczna. Jeśli zakaz nie obowiązuje, to możliwa jest sytuacja gdy dwa fermiony (np. elektrony) są w tym samym stanie, czyli opisywane są za pomocą takiej samej funkcji falowej φ(r₁) i φ(r₂). Funkcja układu złożonego jest wtedy iloczynem funkcji składowych.

ϕ( r₁ , r₂ ) = φ( r₁ ) φ( r₂ )

ale funkcja układu złożonego jest antysymetryczna:

φ( r₁ ) φ( r₂ ) = ϕ( r₁ , r₂ ) = –ϕ( r₂ , r₁ ) = – φ( r₂ ) φ( r₁ )

Hmmm, mnożenie jest przemienne… Czy już widać, że jedyna funkcja która spełnia ten warunek, to funkcja równa wszędzie zero?

[1] Ściślej: jeśli założymy nierozróżnialność, to może się ona objawić na dwa sposoby. Jeden z nich zarezerwowany dla fermionów – to właśnie zakaz Pauliego. Ten drugi tyczy się bozonów. Patrz: dopisek nastepnego dnia.

[2] A może wszystkie elektrony świata powinien opisywać jeden wieeeeelki stan splątany?

[3] MMoże się początkowo wydawać, że owa faza może zależeć od położenia, ale ponieważ funkcja falowa musi być ciągła i różniczkowalna, to następny warunek eⁱ²^α=1, wymusza, że jednak jest ona stała (globalna) i nie zależy od r₁ i r₂ . Niniejsze wyprowadzenie dotyczy mechaniki falowej. W bardziej ogólnym podejściu dowód jest prostszy, ale stosowane pojęcia są za to bardziej abstrakcyjne.

[4] Zaraz pewnie ktoś napisze, że w kwantowej teorii pola związek pomiędzy spinem i statystyką jest wyprowadzony jako twierdzenie. Od razu odpowiem: Tak, jest on wyprowadzony z pewnych ogólnych założeń jakie powinna spełniać porządna kwantowa teoria pola, jednocześnie nikt nie udowodnił, że aktualnie używana teoria pola te założenia spełnia. Gdyby tak nie było, nikt nie dawałby miliona dolarów za rozwiązanie odpowiedniego problemu milenijnego.