Czy warto umierać za determinizm?

„Bóg nie gra w kości” to jedno ze sławniejszych powiedzonek Alberta Einsteina, który nie mógł pogodzić się z losowością mechaniki kwantowej. Mistrz Albert między innymi z tego powodu nie lubił kwantologii, więc ze względu na jego dobre samopoczucie w czasie czytania tej notki zapomnijmy chwilowo o mechanice kwantowej i jej interpretacjach. Mamy do dyspozycji jedynie deterministyczne równania ruchu.

Determinizm zrobiony jest m.in. z liczb rzeczywistych, bo wynika np. z rachunku różniczkowego, który dotyczy funkcji o wartościach w R[1] i dziedzinie, która jest podzbiorem R lub Rⁿ. Już w jednej z poprzednich notek pokazałem kilka przykładów „nierzeczywistości” tych liczb. Powstaje więc pytanie czy determinizm modeli matematycznych jest odzwierciedleniem własności świata rzeczywistego, czy to „efekt uboczny” technologii matematycznej w rodzaju paradoksu Banacha-Tarskiego?

Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy pewien prosty model, całkowicie deterministyczny, który pomoże trochę rozeznać się w materii. Załóżmy, że hodujemy matematyczny bambus, który w ciągu danego czasu 10-krotnie zwiększa swoją długość. Po tym czasie odcinamy z niego kawałki o długości 10 cm i dalej pozwalamy rosnąć naszej roślince. Potem znów pora na żniwa i tak w kółko. Wiedząc ile wynosi początkowa długość bambusa, możemy przewidzieć ile takich kawałków obetniemy po upływie danego czasu[2]. Zobaczmy więc tabelkę przedstawiającą długość roślinki i ilość uzyskanych kawałków w kolejnych odcinkach czasowych.

 Zmiany w czasie są chyba dobrze widoczne: bierzemy pierwszą cyfrę (to osiągnięty wynik) a w tym co zostaje przesuwamy przecinek o jedno miejsce. Jeśli znamy 10 cyfr rozwinięcia, to możemy przewidzieć jedynie 10 kolejnych zbiorów i żadnego więcej. A model jest przecież deterministyczny! Chyba widać, że w tym modelu możliwość przewidywania przyszłości jest iluzoryczna. Bo skąd wziąć nieskończenie wiele cyfr rozwinięcia dziesiętnego? Niedasię.

To oczywiście tylko model. Nie musi mieć przełożenia na świat rzeczywisty. W czasie dwóch wieków rozwiązywania problemów mechaniki, fizycy zajmowali się wysoce regularnymi przypadkami rodzaju: ruch planety po orbicie czy kolebań wahadła. Do czasów Poincarego wielu osobom wydawało się, że tak właśnie wygląda świat. Przewidywalnie. Jednak prace wspomnianego fizyka, który poświęcił sporo czasu zagadnieniu trzech ciał, zaczęły w XX wieku przekonywać, że rozwiązania równania Newtona (albo ich matematycznych mutacji czyli równania Lagrange’a czy Hamiltona) swoim charakterem bardziej przypominają powyższy „nieprzewidywalny” model „bambusa”, niż planetarne elipsy. W XX wieku naprodukowano kilka takich modeli, z których chyba najbardziej efektowny, to układ równań Lorenza[3], mający w założeniu opisywać ruch powietrza (coś koło przewidywania pogody).

Żeby więc mieć determinizm „pod kontrolą”, trzeba by mieć określone warunki początkowe z nieskończoną dokładnością, czyli nieskończenie wiele cyfr. W średniowieczu zastanawiano się ile można zmieścić diabłów na końcu szpilki.

To, czy świat jest deterministyczny czy nie, jest kwestią wiary – no może za dużo powiedziane: to kwestia naszego poglądu na świat. Do pewnego czasu myślano, że fizyka dzięki równaniom Newtona, może coś w tej sprawie podpowiedzieć. Ale dziś trudno uznać, że coś, co zależy od „nieskończenie wielu cyfr rozwinięcia dziesiętnego” może rozstrzygać, jak jest naprawdę. Doświadczenie uczy nas raczej tego, że nie należy przenosić cech modeli na rzeczywistość ekstrapolując te cechy w nieskończoność.

Jaka z tego nauka? Zakończę cokolwiek przewrotnie: Dziś wydaje się, że mechanika kwantowa jednoznacznie zmusza do porzucenia determinizmu[4]. Ale nikt nie powiedział, że kiedyś nie pojawi się „kwantowy Poincare”, który pokaże że kwantowa losowość jest po prostu iluzoryczna.

* * *

Na koniec jeszcze jeden przykład, pozornie z innej działki, pochodzi z jednego z numerów starożytnego „Młodego technika” – niestety nie pomnę autora. W artykule chodziło o pokazanie rozmaitych paradoksów. Jeden z nich dotyczył kosmitów. A było to tak:

Na Ziemię przylecieli kosmici. Obcy nie mieli złych zamiarów. Ponieważ ich cywilizacja rozwinięta była o wiele lepiej od naszej, z rozbawieniem obserwowali nasze osiągnięcia techniczne. Zdziwiła ich jednak ziemska kultura, postanowili zabrać na swoją planetę jak najwięcej jej zasobów. Całymi dniami skanowali książki i robili zdjęcia, kopiowali filmy i nagrywali muzykę. Na koniec oddali wszystko co wypożyczyli od Ziemian. Ziemianie trochę zdziwieni zapytali się czemu nic ze sobą nie zabiorą. „Zabieramy wszystko” odpowiedzieli obcy i pokazali jakąś blaszkę. „Nie rozumiecie?” spytali się i zaraz objaśnili: „Wszystkie skopiowane dzieła waszej kultury zapisaliśmy w postaci liczb. Ułożyliśmy te liczby jedna za drugą. Cyfry utworzyły strasznie długi ciąg na początku którego dopisaliśmy 0 i przecinek. Powstał ułamek, czyli liczba pomiędzy 0 a 1. Na tej blaszce zaznaczyliśmy gdzie znajduje się owa liczba, gdy potraktować długość całości jako 1. Wy też tak przecież robicie oznaczając liczby na osi liczbowej. Kiedy wrócimy na naszą planetę, to zmierzymy dokładnie gdzie jest zaznaczona rysa i z tak powstałej liczby odtworzymy dzieła, które nam wypożyczyliście do skopiowania”.
 

[1] Poniekąd to samo tyczy się to też funkcji zespolonych, bo C to zbiór R² z pewnymi dodatkowymi własnościami.

[2] Model ten jest w zasadzie troszkę inną wersją przekształcenia piekarza.

[3] Układ_Lorenza (wikipedia)

[4] Co też nie jest do końca prawdą, bo taki model Bohma jest akurat deterministyczny.