Nieznana pochodna

Rachunek różniczkowy jest wciąż wiedzą tajemną, choć na dobrą sprawę nie wiadomo dlaczego. Co prawda pojęcie pochodnej nie jest za proste – najpierw trzeba zdefiniować coś, co się nazywa granicą, a definicja nie wygląda zachęcająco: Przypomnijmy sobie z lekcji matematyki horror kolejności kwantyfikatorów w warunku Cauchy’ego. Ale, wracając do tematu, przecież definicja liczb rzeczywistych też nie jest prosta i zdaje się mało kto ją pamięta, a przecież nie przeszkadza nam to dodawać, odejmować dzielić i mnożyć. A czasami nawet wyciągnąć jakiś pierwiastek. No bo jaki jest koń… to znaczy liczba, każdy widzi. Czy wprowadzając pochodną, koniecznie musimy wcześniej straszyć ucznia owym limesem? W końcu liczbę π dzieci poznają przed zaznajomieniem się z warunkiem Cauchy’ego, który też jest potrzebny by zdefiniować liczby niewymierne. A π taką liczbą właśnie jest.

Wszak pojęcia pochodnej można używać niekoniecznie wnikając w matematyczne niuanse. Przykład? Każdy kierowca ma w samochodzie dwa przyrządy pomiarowe: licznik odległości i prędkościomierz. I tak się składa, że ten drugi pokazuje coś co jest pochodną po czasie wskazań tego pierwszego. Nawet dzieci pojmują bez bólu, że jak prędkość samochodu jest zero, to licznik „kilometrowy” pozostaje bez zmian, choć może pokazywać nawet dość spore liczby. Im większe wskazania prędkościomierza, tym większych zmian powinniśmy się spodziewać na liczniku pokazującym przebytą drogę.

Uzbrojeni od dziecka w taką intuicję, bez kłopotu powinniśmy operować pojęciem pochodnej, ale z jakichś niejasnych przyczyn tak nie jest. Pamiętam, że w ogólnej ocenie, jedną z gorszych rzeczy jakie mogły się przydarzyć na sprawdzianie z fizyki, było dopasowanie do siebie wykresów położenia i prędkości, bo z przekształceniami algebraicznymi jakoś sobie radzono.

Nie podejmę się oceniać, dlaczego dydaktyka nie dopracowała sobie metod oświecania uczniów, jak z wykresu dowolnej wielkości A, gdzie na osi poziomej jest czas:

utworzyć sobie, nawet niedokładnie, „od ręki” (jak to zrobiłem poniżej) wykres prędkości A czyli pochodnej.

Włączenie pochodnej do stosowanych rachunków nie jest takie straszne jak by się mogło wydawać, bo po przejściu przez krętą ścieżkę korzystania z definicji, czyli wrednego liczenia granicy różnych wyrażeń różnicowych, wchodzimy na dość szeroką szosę przekształceń de facto algebraicznych. Choćby tego rodzaju:

(fg)' = f'g + fg'

Nie są one takie trudne, a na pewno łatwiejsze od połowy wzorów trygonometrycznych, jakich uczyłem się w liceum. Mimo to, zdaje się, że rachunek różniczkowy pod strzechy na razie raczej nie zajdzie.

Ale, ale! Jest jeden wyjątek: Wystarczy, że na osi pionowej jednostkami staną sie złotówki, euro czy punkty WIG a już staje się on jasny i czytelny. Przynajmniej dla tych, którzy są inwestorami giełdowymi czy mają kredyt w walucie obcej do spłacenia. Od razu widać, że pochodna jest ujemna, bo cena spada (strzałka czerwona w dół) albo dodatnia (to znów jest na zielono). Co więcej, zwykle nawet zawiłości drugiej pochodnej nie są takie straszne, bo stwierdzenia „spadki są coraz mniejsze” oznacza tyle, że pierwsza pochodna jest ujemna a druga pochodna dodatnia. Choć dla kogoś kto kupił akcje, bardziej atrakcyjne jest, by obie pochodne miały dodatni znak ☺.
 

Dopisek na inny temat

Kilka dni temu córka oznajmiła, że nauczyciel fizyki w jej liceum, z dużą dozą niechęci, oznajmił, że nie będzie już obniżał ocen na sprawdzianach za brak jednostek. Bo na maturze nie wymaga się już jednostek. I chociaż zwykle nie lubię kasandrycznego narzekania, jak to szanse przyszłych pokoleń grzebane są żywcem poprzez zmiany w szkolnictwie, to ta akurat zmiana wydaje mi się wysoce szkodliwa. Bez jednostek? Dla mnie rozwiązywanie zadania w którym trzeba obliczyć wynik i nie przeliczyć jednostek, prawie mija się z celem. Czasami w owych jednostkach mieści się więcej fizyki niż w reszcie zadania. Szkoda.