Pisałem w poprzedniej notce, że prędkość taka jest intuicyjna, ale przecież niekoniecznie tak było od zawsze. Przypomnijmy sobie: starożytni Grecy dopracowali się sporej wiedzy matematycznej – umieli obliczyć objętości wielu brył, choćby takiej kuli – ale pozostali bezbronni gdy chodziło o niejednostajne zmienności. Zauważmy, że w ptolemeuszowym modelu planetarnym, nie ma zmian. Planety poruszają się zgodnie z ruchem sfer jednostajnie. Nic nie przyspiesza, nic nie zwalnia. Dopiero Kepler zauważył, że jest inaczej, wcześniej radzono sobie przez wciśnięcie do modelu dodatkowych ruchów po okręgu poprawiającego epicykle i deferenty[1].
Można sobie wyobrazić, że taki Grek, pomimo swej potężnej wiedzy raczej nie zrozumiałby dowcipu, gdy zatrzymany kierowca tłumaczy się przed policjantem: „Panie władzo jak mogłem jechać 100 kilometrów na godzinę, kiedy przejechałem dziś zaledwie dwa kilometry”. Oczywiście zakładam, że opowiadający dokona zamiany jednostek na ówcześnie obowiązujące (stadiony na klesprydrę? ☺).
Cóż. Przyjęty model (teoria) mający opisywać rzeczywistość wpływa na nasze rozumienie rzeczywistości. Te kilkaset lat, w których ludzkość korzystała z rachunku różniczkowego, spowodowało, że dziś umiemy dość precyzyjnie operować pochodną, zwaną dla niepoznaki prędkością chwilową. Wcześniej używano raczej pojęcia prędkości średniej ukrytej pod sformułowaniami typu „z miasta A do miasta B trzeba jechać 3 dni drogi”.
Zauważmy też, że znany paradoks Zenona sformułowany jest w sposób, który trudno powtórzyć dzisiejszemu uczniowi czy studentowi zżytemu od dziecka z pojęciem prędkości. Tam mamy stałe proporcje. Na przykład 10 do 1. Achilles biegnie 10 razy szybciej – kiedy jeden przebiegnie kilometr, drugi jedynie 100 metrów. Aż by się chciało wypisać wzór s=vt, pokazujący jak będzie się zmieniać położenie żółwia albo Achillesa. Tylko jak w tym sformułowaniu wyrazić słynny paradoks?
Dajmy jednak spokój tym domysłom i spekulacjom, bo starożytnego Greka raczej nie znajdę, by wypytać się o szczegóły jego rozumienia prędkości. A jak się za chwilę okaże, powyższe wynurzenia wcale nie muszą być takie prawdziwe, jak mogłoby mi się wydawać.
Zadanie…
…ze zbioru zadań mojej córki: „Wskazówki godzinowa i minutowa są w tej samej pozycji, po jakim czasie znów się spotkają?”. No i córka przyszła do mnie z pytaniem o pomoc, bo raczej nie chodziło o rozwiązanie w „duchu zenonowym”: Startujemy o godzinie 12:00. Najpierw minutowa okrążyła całą tarczę a godzinowa przesunęła się na godzinę pierwszą. Po pięciu minutach minutowa doszła tam gdzie godzinowa była o pierwszej. Godzinowa w tym czasie… „No chyba nie tak je trzeba rozwiązać” – powiedziała.
Tyle się dziecię uczyło o prędkościach, ale specyfika zegara (odmierzane te same kawałki czasu, stałe proporcje prędkości ruchu 12:1) spowodowały, że „współczesne” rozwiązanie okazało się mało intuicyjne[2]. Trzeba było odwołać się do znanego prawa edukacji: „Domyśl się, co nauczyciel miał na myśli zadając ci pytanie”. Czyli innymi słowy „Jakiego tematu lekcji dotyczyło zadanie ze zbioru?” Odpowiedź: ruch po okręgu, gdzie jeśli coś porusza się z prędkością kątową ωh, to w czasie t zakreśla kąt:
αh = ωht
I niech to będzie opis ruchu wskazówki godzinowej (od razu wstawiłem indeks h). Jeśli αh to kąt, w którym wskazówki spotkały się po raz pierwszy, to minutowa zrobiła w tym czasie:
αm = ωmt = αh + 2π
Teraz pozostało jedynie mozolne przekształcanie wzorów i niezgubienie w tym czasie ich znaczenia fizycznego. Ale jak się chce, to nawet uczeń liceum jest w stanie to zrobić☺.
Uprzedzając ewentualne uwagi: Tak, wiem, że istnieje prostsze rozwiązanie tego zadania. Ale na razie go nie podam, żeby nie pozbawiać satysfakcji tych, którzy jednak zechcą je sami znaleźć.
[1] Tak nawiasem mówiąc, zdaje się, że dla dzisiejszego studenta zdecydowanie trudniej byłoby zbudować model ptolemeuszowski od keplero-newtonowskiego, pomimo, że potrzebowałby jedynie okręgów. Żeby dostać rozwiązania równań Newtona w ruchu pól sił centralnych wystarcza dwie-trzy strony we współczesnych podręcznikach mechaniki.
[2] Jak trzeba było rozwiązać bardzo podobne rachunkowo zagadnienie „Kiedy samochód A wyprzedzi samochód B” było inaczej. Od razu zaprzęgnięte zostały wzory opisujące położenie w ruchu jednostajnym.
