Stany mieszane kwantowo

Zgodnie z sugestią SNAFU, żeby zająć się macierzami gęstości, dziś spróbuję coś niecoś opowiedzieć o stanach mieszanych w mechanice kwantowej. Jeśli nie pamiętasz wniosków z poprzedniej „klasycznej” notki, przypomnę podsumowującą tabelkę:

tabela stanów mieszanych klasycznie

Od razu uprzedzę, że w kwantówce nie jest tak samo, ale jedno się pokrywa: stany to funkcje, których dziedziną są obserwable. Dodatkowo trzeba założyć, że są to funkcje liniowe.

Stan czysty działa na obserwablę

Żeby więc mieć stany (mieszane i czyste) trzeba mieć zbiór A do którego należą obserwable. Jeśli taki znajdziemy, to trzeba będzie utworzyć zbiór funkcji A', których dziedziną jest A. Na koniec ze wszystkich możliwych elementów z A’ dobierzemy tylko takie, które pasują do prawdopodobieństwa – są dodatnie i sumują się do jedynki.

Nie będę się zagłębiał w matematykę kwantologii tak głęboko, jak w przypadku klasycznym, bo jest skomplikowańsza. Napiszę jedynie, że obserwable są operatorami działającymi na przestrzeni stanów czystych. A stany czyste, to wektory stanów. Wśród iluśtam warunków matematycznych, które zbiór stanów czystych musi spełniać, dwa są najważniejsze: po pierwsze wektory mają współrzędne zespolone, po drugie musi być określony iloczyn skalarny wektorów. Fizycy na taki wynalazek mówią przestrzeń Hilberta i oznaczają literką H.

Zanim zgłębię się w dalsze tłumaczenia, trzeba będzie sobie powiedzieć, jak zwykły stan czysty ma zadziałać na obserwablę, żeby wyszła z tego liczba. Zastosowałem następujące oznaczenia: stany oznaczam literką ρ, a operatory literką F. Niech więc nasz stan czysty odpowiada jakiemuś wektorowi ψ. A oto działanie ρ na F[1]:

$ρ_ψ : A \ni F \mapsto ρ_ψ (F) = (ψ, F ψ) \in R$

Czyli działanie stanu czystego na obserwablę sprowadza się do wykorzystania iloczynu skalarnego i znalezienia jej wartości średniej. I tu pora na małą dygresję, zanim dowiemy się jak mogą wyglądać stany mieszane zwane również macierzami gęstości.

Prawdopodobieństwo a prawdopodobieństwo

Niestety dwa rodzaje prawdopodobieństwa są uczciwie mylone przez adeptów sztuki kwantologii. Zacznijmy od przykładu.

Weźmy sobie wektor opisujący spin. To najprostszy model kwantowy opisywany przez wektor o dwóch współrzędnych. Nie wnikam jak owe współrzędne przekładają się na „fizykę” spinu, bo to temat na osobną notkę. Do rozważań użyję dwóch wektorów: φ_↑ – oznacza spin skierowany do góry i φ_↓ – skierowany na dół. Co ciekawe, każdy kierunek spinu da się wyrazić przez kombinację liniową tych dwóch wektorów – pisałem, że wektory mają dwie współrzędne.

I tak na przykład spin skierowany zgodnie z kierunkiem osi X (pierwiastek z 1/2 zapewnia, że poniższy stan jest unormowany) to:

$ψ_{x+} = (1/\sqrt{2}) (φ_↑ + φ_↓)$

Niewprawiony kwantolog powie, że taki spin znajduje się na 50% w stanie φ_↑ („do góry”) i na 50% w stanie φ_↓ („na dół”). A to nieprawda, bo on na 100% znajduje się w stanie „w prawo”, czyli zgodnie z osią X. Tak, jak w mechanice klasycznej stan czysty oznaczał, że na 100% znaliśmy położenie i pęd cząstki, tak tu mając stan ψ_x₊ mamy 100% informacji na temat stanu. Nie ma tu żadnej niepewności.

Nieporozumienie bierze się stąd, że poddając taki stan pomiarowi badającemu składową spinu „góra-dół”, z 50% prawdopodobieństwem dostaniemy wynik „w górę” i 50% że „w dół”. Zmierzmy jednak składową spinu w kierunku X. Wtedy na 100% będzie „w prawo”.

Może lepiej się to ułoży w głowie, jeśli napiszę inne przykłady spinów, niby-to „pół na pół” w górę i w dół:

$ψ_{y-} = (1/\sqrt{2}) (φ_↑ + iφ_↓) ψ_{x-} = (1/\sqrt{2}) (φ_↑ - φ_↓) ψ_{y+} = (1/\sqrt{2}) (φ_↑ -i φ_↓)$

Indeksy przy stanach mówią same za siebie w którą stronę skierowane są te spiny[2].

A jak się ma do tego stan mieszany? Otóż odpowiada on na przykład następującej sytuacji: Wiemy, że nasz układ albo znajduje się w stanie „w górę”, albo „w dół”[3]. Dla prostoty załóżmy, że według naszej (nie)wiedzy mamy 50% prawdopodobieństwo na każde z tych dwóch sytuacji. Naiwnie można by sądzić, że wystarczy wziąć spuerpozycję (kombinację liniową) φ_↑ i φ_↓ żeby opisać nasz układ, ale to nieprawda. Choćby z takiego prostego powodu, że nie wiadomo które ψ wziąć. Bo przecież powyżej wypisałem aż cztery możliwości. A jest ich więcej – tyle, na ile mogą się różnić fazy między składowymi.

Jak opisać taką sytuację, gdy zamiast jednego pewnego stanu mamy dwa niepewne? Tak jak w poprzednim odcinku: bierzemy średnią ważoną.

$ρ_{50/50}= 50\% w stanie φ_↑ 50\% w stanie φ_↓ ρ_{50/50}: A\ni F \mapsto ρ(F) = (1/2)(φ_↑, Fφ_↑) + (1/2) (φ_↓ , Fφ_↓) \in R$

Na koniec sprawdźmy jeszcze, że owe dwie wartości średnie obserwabli – w stanie czystym i mieszanym – wcale nie muszą być jednakowe, pomimo naiwnego podobieństwa, że oba stany są „pół na pół”. Weźmy sobie stan czysty ψ_x₊ i stan mieszany ρ_50/50 opisany słowami powyżej. Jako obserwablę wybiorę sobie S_x – składową spinu w kierunku X

Stan czysty ψ_x+ działa na S_x:

$ρ_{ψ_{x+}}(S_x) = (ψ_{x+}, S_x ψ_{x+}) = \hbar/2$

Stan mieszany ρ_50/50 działa na S_{_x}:

$ρ_{50/50}(S_x) = {1\over 2}(ψ_{↑}, S_x ψ_{↑}) + {1\over 2}(ψ_{↓}, S_x ψ_{↓}) = 0 + 0 = 0$

Jak widać, średnie istotnie się różnią.

Dość obrazowo można powiedzieć, że niepewność pomiarowa w stanie czystym jest ograniczeniem samej przyrody – tak jak zasada nieoznaczoności. W modelu może się również pojawić niepewność spowodowana naszą niewiedzą i uwzględniamy ją przez wprowadzenie stanów mieszanych.

Na koniec…

…przepiszę jeszcze wzór na liczenie średniej ważonej obserwabli w nieco ogólniejszym przypadku. Prawdopodobieństwa, że układ jest w stanie φ_ioznaczę jako ρ_i. Chwilowo nie będę się rozwodził nad tym, że wektory φ_i są unormowane i wzajemnie prostopadłe, ale takie właśnie mają być.

$ρ={ ρ_i - prawdopodobieństwo, że układ jest φ_i} \\ ρ: A\ni F \mapsto ρ(F) = \sum_i ρ_i (φ_i, Fφ_i) \in R$

Dokładniej sytuację rozpatrzę w bardziej rozwydrzonej matematycznie, następnej notce. W dodatku jeszcze nie napisałem jak matematycznie zapisać konkretny stan mieszany, tylko opisałem go „słowami”. Nie wyjaśniłem też dlaczego używa się nazwy macierze gęstości.

Na wszystkie te wątpliwości odpowie następny odcinek. Już dziś zapraszam do czytania, choć będzie ono wymagać nieco algebraicznego obycia.

No i już zupełnie na finał podsumowanie stanów mieszanych w kwantologii:

tabelka stany mieszane kwantowe

[1] Dla dowolnych ρ i F wynik może być w ogólności liczbą zespoloną, ale jeśli mają mieć coś wspólnego z fizyką, to muszą być tak dobrane, by ρ(F) było rzeczywiste. Zbiór A zawiera rozmaite operatory, obserwable powinny być jednak „rzeczywiste”, bo wyniki pomiarów są liczbami rzeczywistymi. Dlatego też jako kandydatów na obserwable brane są jedynie te które mają rzeczywiste wartości własne. Na stany też narzuca się taki warunek, dodatkowo mają być dodatnie i unormowane do jedynki.

[2] Aż się prosi o napisanie, żeby owego „skierowania spinu w stronę …” nie rozumieć dosłownie, czyli klasycznie. Kwantologia ma w nosie klasyczne intuicje.

[3] Niecierpliwych proszę o cierpliwość. A tych co nie wiedzą, uprzedzam, że owo „albo-albo” przejawia się w kwantologii w sposób przebiegły, zaskakujący i na dodatek zupełnie inny niż w przypadku klasycznym. Obiecuję w jednej z kolejnych notek wyjaśnienie o co chodzi.