Skoro, w poprzedniej notce, pojawiło się pytanie Barbiego dlaczego bączek nie upada, wypada przynajmniej wspomnieć o dziwnym zachowaniu dziecięcych zabawek. Ktoś w moim wieku zna je doskonale, dziś jakby mniej są modne.
Pytanie dlaczego wirujący przedmiot się nie przewraca, ma dość proste wyjaśnienie matematyczne. Może kilka słów jaką matematyką traktuje się takiego bączka. Poniżej rysunek skopiowany z klasycznej książki Resnicka i Halliday’a (zmieniłem trochę oznaczenia by pasowały do poprzedniej notki).
Rysunek pokazuje bąk kręcący się wokół własnej osi – to jego oś główna momentu bezwładności, czyli moment pędu będzie miał ten sam kierunek, co oś obrotu. Oś ta nie jest całkiem pionowa: trudno puścić bączka idealnie pionowo. Na rysunku odchylenie jest na tyle duże, żeby było to widać – w praktyce dzieci potrafią zrobić to lepiej. Gdyby bączek nie wirował, to nawet najmniejsze wychylenie od pionu przewróciłoby zabawkę. Ale ona wiruje i ma moment pędu j.
Można wyprowadzić z drugiej zasady dynamiki Newtona podobne równanie dla ruchu obrotowego. Nawet wygląda ono podobnie: zamiast pędu jest moment pędu, a zamiast siły moment siły. Matematycznie się nie różnią: oba to równania różniczkowe dotyczące wielkości wektorowych.
Wróćmy do rysunku: Na bączek działa moment sił ciężkości. Ciężar to mg, promień siły to wektor r zaczynający się w punkcie podparcia a kończący w punkcie środka masy. Obliczony z nich moment sił M=r×mg jest prostopadły do obu tych wektorów, a więc jest również prostopadły do momentu pędu j (oś obrotu ma ten sam kierunek co wektor ramienia siły).
No i ćwiczenie, polegające na pokazaniu, że moment sił nie zmieni kąta nachylenia wektora momentu pędu do pionu, natomiast zmieni kierunek, jest dość proste. Matematycznie nie różni się zbytnio od przypadku znanego z ruchu liniowego: siła prostopadła do prędkości, działająca na ciało powoduje, że prędkość nie zmienia wartości tylko swój kierunek i ciało wykonuje ruch po orbicie.
No dobrze, ktoś powie, wartość j zostaje stała, ale kierunek będzie się zmieniać i na przykład może się „obniżyć”. Zauważmy jednak, że moment M jest prostopadły do pionu (bo siła ciężkości jest „ustawiona” pionowo) czyli j może zmieniać tylko swą składową poziomą! Oznacza to, że wektor momentu pędu bączka będzie „kręcił się” wokół pionu, ale nie opadnie. Ów „ruch” wektora j istnieje co prawda w świecie abstrakcyjnej matematyki, ale odpowiada jak najbardziej fizycznemu kierunkowi obrotu zabawaki.
Analogia
To, że równania produkują taki wynik, może kogoś zadowalać, ale niekoniecznie. Dla niezadowolonych przykład, że nie potrzeba bączka czy innego żyroskopu, żeby odchylone od pionu ciała się nie przewracały. Analogia nie do końca pełna, ale za to pouczająca. Spójrzmy na poniższe zdjęcie:
Motocyklista przechylił motocykl, ale się nie przewrócił. Zmienił za to kierunek ruchu „w poziomie” (nie „w pionie”). Analizę, że kawałek siły ciężkości, co to pozornie powinien przewrócić motor, jest siłą dośrodkową i powoduje ruch po okręgu, tradycyjnie zostawiam jako zadanie ZTS.
