Sfera spinowa

Model matematyczny używany do opisania spinu 1/2, jest równocześnie najprostszym modelem mechaniki kwantowej: Dwie liczby zespolone. Fizycy piszą, że przestrzenią Hilberta dla spinu jest C². Okazuje się też, że można znaleźć bardziej przyjazny sposób przedstawiania spinu, o czym będzie można poczytać poniżej. Przepraszam za przematematyzowaną miejscami notkę. Mimo to wydaje mi się, że warto ją przeczytać – nawet jeśli wzory okażą się katorżnicze, może obrazki umilą lekturę ☺.

Przestrzenie rzutowe

Mechanika kwantowa posługuje się dość nieoczywistym aparatem matematycznym. Na przykład stany fizyczne modelowane są za pomocą wektorów w zespolonej przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym i kilkoma innymi skomplikowanymi warunkami matematycznymi o których na szczęście pisał nie będę. Nazywa się to przestrzenią Hilberta. Weźmy sobie jakąkolwiek taką przestrzeń o skończonym wymiarze. Da się ją przedstawić jako Cⁿ. Wektor z takiej przestrzeni to n liczb zespolonych:

$w= ( w_1 \\ w_2 \\ … \\ w_n )$

Ale nie każdy taki wektor jest dobry. Ponieważ kwadraty współrzędnych tego wektora oznaczają prawdopodobieństwa, muszą one spełniać warunek normowania:

|w₁|²+|w₂|²+… +|w_n|² = 1

Z podobnych przyczyn, dwa wektory, które różnią się o fazę, odpowiadają temu samemu stanowi fizycznemu

$e^{iΦ}w \cong w$

Chwilka refleksji: przestrzeń Cⁿ ma rzeczywisty wymiar 2n (bo tyle potrzeba liczb rzeczywistych, żeby utworzyć n liczb zespolonych), ale nie wszystkie mają znaczenie fizyczne. Normowanie ujmuje jeden wymiar, nieistotność fazy drugi. Jakby zajrzeć do jakiegoś podręcznika o liczbach zespolonych, to okaże się, że oba te warunki definiują tzw. przestrzeń rzutową. Robi się ją tak, że startuje się z przestrzeni Cⁿ–{0} i utożsamia się wektory różniące się o czynnik:

$w\cong v \Leftrightarrow \exists λ: w= λv$

Te przestrzenie są dość dobrze przebadane przez matematyków, ale jakoś fizycy kwantowi potrafią się bez nich obyć. Może dlatego, że trudno operować wielowymiarowymi nietrywialnymi zbiorami, łatwiej stosować wektory, pamiętając o ich normowaniu.

Wyjątkiem jest przestrzeń do opisu spinu, czyli C². Każdy stan to dwie liczby zespolone, czyli cztery rzeczywiste. Normowanie i ignorowanie fazy podpowiada, że tak naprawdę potrzebne są dwa stopnie swobody. Geometrycznie oznacza to, że stany należeć będą do jakiegoś dwuwymiarowego zbioru. Spróbuję dalej taki zbiór utworzyć.

To już zresztą było robione w Salonie24. Pracowicie opisywał ten proces prof. Jadczyk w notce Portret spinora. Poniżej zamieszczam dwa nieco inne sposoby uzyskania sfery spinowej.

Sfera spinowa – sposób „geometryczny”

Mamy wektory ( α , β ) . Warunek normowania narzuca: |α|²+|β|²=1, czyli moduły tych liczb można odnaleźć na kawałku (ćwiartce) okręgu. Ale współrzędne wektora oprócz modułów mają i fazy:

$( α, β ) =( e^{iθ_a}|α|, e^{iθ_b}|β| )$

A ponieważ faza całego wektora nie jest istotna, to liczy się jedynie faza względna. Interesujący nas stopień swobody będzie więc współrzędną na okręgu.

$( α, β ) \cong ( |α|, e^{iθ}|β| )$

Sfera I krok

Jeśli jednak jedna ze współrzędnych wektora równa jest zero, to faza nie liczy się wcale. Na rysunku oznacza to, że nasz zbiór nie będzie rurką – końce trzeba „zaspawać” do punktu. Aż się chce, żeby jedna ze współrzędnych nie była liczona od 0 do π/2, tylko od 0 do π. Wtedy wygodnie ową „kiszkę” napompować do sfery.

Sfera II krok

Przy takim układzie współrzędnych, związek pomiędzy punktem sfery a stanami z C² wygląda następująco:

$( α, β ) = (dowolna faza)( cos(Φ/2), e^{iθ}sin(Φ/2) )$

Sfera spinowa – sposób „kwantowo-mechaniczny”

Mechanika kwantowa podpowiada, że na przestrzeni C² da się zdefiniować operatory trzech składowych spinu:

S_x, S_y, S_z

Dla każdego unormowanego stanu obliczmy wartości średnie:

$z ={ħ\over 2}(|α|^2-|β|^2) x={ħ\over 2}(α \barβ+\barα β), y={ħ\over 2}i(α \barβ-\barα β)$

i to one stanowią współrzędne na sferze. Wystarczy wziąć je do kwadratu i dodać do siebie a okaże się, że wyjdzie stała, co oznacza, że taki punkt s= (x, y, z) jest rzeczywiście punktem sfery.

Od razu widać jaki jest sens fizycznych punktów sfery: to średnia wartość spinu w danym kierunku.

Współrzędne na sferze zależą kwadratowo od współrzędnych w C². Nie na darmo mówi się, że spinory są „pierwiastkami” z wektorów. Podobnie jest w tej „geometrycznej” konstrukcji – w pewnym momencie przeskalowujemy kąt na dwa razy większy. Ci którzy znają związek między sinusami i cosinusami a liczbami zespolonymi, wiedzą, że podwojenie kąta jest równoznaczne z podwojeniem wykładnika potęgi czyli wzięciem do kwadratu.

Dobroć sfery spinowej

Sfera spinowa jest wyjątkowa. Po pierwsze jest wyjątkowo zgodna z naszą trójwymiarową euklidesową intuicją. Każdy spin reprezentowany jest jako kierunek „zwykłej” przestrzeni trójwymiarowej. Po drugie współrzędne na sferze, są bardziej fizyczne od tych z przestrzeni C², bo znaczenie fizyczne mają kwadraty składowych wektora, a jak widać ze wzorów powyżej s zależy kwadratowo od współrzędnych z C²

Trzeba jenak trochę uważać, bo mogłoby się wydawać, że kierunek wyznaczony przez punkt sfery, to kierunek hipotetycznej osi obrotu, co jest nieprawdą. Gdyby coś takiego miało sens, to pomiar składowej spinu w tym kierunku powinien dać pierwiastek z (3/4)ħ², a rzut na prostą prostopadłą do tej osi powinien wynieść 0. A tak nie jest, bo doświadczenie może dać tylko ±ħ/2.

Obrazek sfery, która stanowi zbiór wszystkich możliwych stanów spinowych jest tak sugestywny, że chciałoby się móc dostać podobny dla większych momentów pędów od 1/2. Niestety tylko „chciałoby się” o czym więcej w jednej z następnych notek.