Skąd wziąć zbiory dla spinów większych niż 1/2?

Jak można było zobaczyć w poprzednim odcinku, sfera spinowa w bardzo miły sposób ułatwiała prezentację zachowania spinu bez potrzeby zagłębiania się w zawiłości dwóch liczb zespolonych. Wydaje mi się jednak, że to wyjątek  w mechanice kwantowej, i że nie ma jakiegoś prostego sposobu na utworzenie takich oczywistych zbiorów odpowiadających  przestrzeniom Hilberta o wyższych wymiarach niż 2. Tytułowe pytanie jest więc pytaniem, na które nie potrafię odpowiedzieć.

Próba dla spinu 1

No więc o ile przestrzenie rzutowe są dobrze opisane przez matematyków, to ma to słabe przełożenie na mechanikę kwantową. Przykładowo przestrzeń CP¹ przedstawiona wcześniej jako sfera spinowa jest też standardowo przedstawiana jako płaszczyzna zespolona uzupełniona o punkt „nieskończoności”. A przecież dla fizyka dwa poniższe obrazki są jednak inne:

A wyższe wymiary? Dla ustalenia uwagi spróbujmy popatrzeć jak wygląda przestrzeń Hilberta dla spinu 1 i odpowiadająca jej przestrzeń rzutowa. Wektor należy do przestrzeni C³ czyli ma trzy współrzędne. Jak uwzględnimy normowanie i  fazę, to dostaniemy zbiór o czterech rzeczywistych wymiarach. Czterowymiarowe zbiory trudno sobie wyobrazić, ale spróbuję jakoś do niego dojść.

Wzory ogólne podpowiadają, że CP² to zbiór C² czyli iloczyn dwóch płaszczyzn zespolonych, tyle, że odpowiednio posklejany zbiorem CP¹ w nieskończoności. Nazywa się to zespolona płaszczyzna rzutowa. Taki układ współrzędnych średnio się przydaje, bo te współrzędne są dowolnie duże, a prawdopodobieństwa (fizyczne znaczenie) co najwyżej równe 1.

Spróbujmy więc inaczej. Wektor z C³ o współrzędnych α, β, γ spełnia warunek:

|α|²+|β|²+|γ|²=1

Istotne fazy są dwie, stąd lokalnie przestrzeń da się przedstawić jako kawałek (1/8) sfery × torus:

Na brzegach trzeba to sklejać i zawijać, bo np. gdy jedna ze współrzędnych jest równa zero, to istotna jest tylko jedna faza. Powyższy rysunek trzeba więc jeszcze poprawić, ale jakoś nie chciało/udało mi się tego zrobić. Może dlatego, że ciężko wyobrazić sobie czterowymiarówkę.

Geometria stanów

Skoro sposób „geometryczny” się (u mnie) nie sprawdził, może pora przetestować ten „kwantowomechaniczny”? W odcinku o sferze spinowej znalazłem „wszystkie możliwe” operatory działające na przestrzeń stanów i obliczyłem ich wartości średnie w zależności od stanów – dostałem kompletną informację o możliwych prawdopodobieństwach związanych ze stanem.

Używamy przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym, więc pojawia się pytanie o geometrię – co tak naprawdę oznaczają współrzędne. Jak już było kiedyś pisane, współrzędne wektora stanu nie mają bezpośredniego znaczenia fizycznego. Dopiero ich kwadraty modułów mówią o prawdopodobieństwach uzyskania pomiarów. Każdej obserwabli odpowiada inna baza i inny rozkład stanu w tej bazie. Ile jest takich obserwabli? Sporo – tworzą  n²-wymiarowy zbiór (n to zespolony wymiar przestrzeni Hilberta). Skąd ten wynik: Każda obserwabla jest zespoloną macierzą hermitowską – czyli mamy n rzeczywistych współrzędnych na przekątnej i n×(n-1)/2 zespolonych współrzędnych nad lub pod przekątną.  W sumie wychodzi n² rzeczywistych współrzędnych. Czyli przestrzeń stanów, która musi rozróżniać owe współrzędne powinna być n²–1 wymiarowa (jeden wymiar jest usuwany przez wymuszenie normowania stanu). Dokładniejsza analiza, która uwzględniałaby stany czyste (a nie wszystkie mieszane) odejmie jeszcze jeden wymiar.

Zobaczmy jak wygląda przegląd wymiarów (rzeczywistych) dla tych zbiorów:

Tak mi się wydaje, że sfera spinowa potraktowana jako przestrzeń rzutowa, dość przypadkowo realizuje żądanie, by jej współrzędne mogły określać prawdopodobieństwa. Nie da się wprowadzić takiego układu współrzędnych na CPⁿ, by zależały one kwadratowo od współrzędnych na H i zawierały informację o fazach względnych. Może dlatego przestrzenie rzutowe nie są centralnym punktem mechaniki kwantowej. Ale może nie mam racji, bo temat zgłębiałem całkowicie amatorsko.

Jakoś tutejszą tradycją salonową stają się domorosłe „odkrycia”, które wynikają głównie z niewiedzy. Czyli ktoś, komu nie chce się zapoznać z równaniami Maxwella, twierdzi, że STW jest nieprawdziwe i proponuje „rewolucyjne” rozumowanie mające obalić teorię, krzycząc wszem i wobec: „To oczywiste! Dlaczego żaden skostniały fizyk nie przyzna mi racji?” Mam nadzieję, że dzisiejsza blognostka nie będzie chorowała na tę przypadłość – bo, od razu mówię, że stanowi efekt moich dociekań w czasach, gdy dostępna biblioteka to taka miejsko-gminna. Rzecz jasna alternatywą jest ceberprzestrzeń, ale rozwiązanie to jest niezwykle czasochłonne. Ale może przestanę się już tłumaczyć, bo wyjdzie, że jestem winny…