Obrazki z orbitalami 2p

W poprzednim odcinku pojawiły się pytania, jak wygląda elektron w atomie. No i w zasadzie można by powiedzieć, że w ogóle nie wygląda. „W zasadzie” no, bo przecież, jak mamy funkcję falową ψ, to można narysować wykres tej funkcji. A może jeszcze lepiej kwadrat modułu tej funkcji, który według obowiązującej interpretacji oznacza prawdopodobieństwo, że elektron może zostać zarejestrowany w tym, a nie innym miejscu.

Wielkość taka jest w pewien sposób dostępna w pomiarach:

Zdjęcie Anety Stodolnej
„Zdjęcie” stanu podstawowego atomu wodoru (orbital s)
uzyskane ze złożenia wielu pojedynczych pomiarów.

W niniejszej notce skupię się na orbitalu p. Przypomnijmy elektrony na tym orbitalu mają liczbę kwantową l=1, co oznacza, że wybrana składowa orbitalnego moment pędu może mieć trzy wartości, gdy spróbujemy ją zmierzyć. W języku liczb kwantowych oznacza to, że liczba magnetyczna może przyjmować trzy wartości: m=–1, 0, 1. Gdy zajrzymy do jakiegoś podręcznika z chemii czy fizyki z rysunkiem takiego orbitala, zobaczymy coś w rodzaju hantli lub obwarzanka:

Wykresy z książki „Mechanika kwantowa w obrazach” S. Brandta i H. D. Dahmena

Pojawia się pytanie cóż mogą oznaczać te malunki?

Wykres biegunowy

Zanim odpowiemy na to pytanie, pora przypomnieć sobie, jakie są funkcje falowe elektronu w atomie wodoru – pisałem że w innych atomach będą „podobne”, może poprzemieszczane i ciut powyginane z powodu oddziaływania z innymi elektronami:

$\varphi_{n, l, m}({\bf r}) = R_{n,l}(r) Y_l^m(\theta, \phi)$

Widać, że funkcja falowa jest iloczynem części zależnej od odległości od jądra (r) i części zależnej od kątów. Istnieje nieoczywisty, choć wygodny sposób przedstawiania funkcji zależącej od kątów – chodzi o tzw. wykres biegunowy. Żeby poczuć co to takiego zobaczmy na wykres funkcji zależnej od jednego kąta.

Dla prostoty weźmy kwadrat sinusa: sin²(α). W szkole wykres tej funkcji przedstawia się pewnie tak:

$sin^2(\aplha)$

Ale ze względu na to, że całość po osiągnięciu kąta pełnego się powtarza, korci, żeby wykres „zapętlić”:

$sin^2(\alpha) zakręcone$

No i po zapętleniu wyjdzie coś takiego:

$sin^2(\alpha) biegunowo$

Zmienna, czyli kąt jest rzeczywiście kątem, a wartość funkcji to odległość wykresu od środka. Od razu widać, że w miarę sensownie wyglądają wykresy funkcji nieujemnych.

Obrazek na początku notki pokazuje właśnie wykres biegunowy |Y(θ, φ)|², tyle że dwuwymiarowy, bo zależy od dwóch kątów. Powyższe zdania wielkich treści fizycznych nie wnosiły, ale zawsze miło to wiedzieć co pokazują obrazki.

Wykres |ψ|²

A jak chcemy namalować wykres dla całej funkcji falowej, a nie tylko części zależącej od kątów? Trudno, bo dziedzina jest trójwymiarowa a wartości zespolone. Zanim spróbujemy to zrobić, to mały przegląd jakie orbitale typu p istnieją dla n=2 i l=1. Orbitale te nazywa się czasami orbitalami 2p, bo są dla n=2. Obrazki mają pokazać w przybliżeniu, jak przestrzennie ułożone są funkcje falowe (czyli gdzie mniej więcej wartości funkcji są znacząco różne od zera):

m	ψ	obrazek ψ	nazwa orbitala
–1	(1/√2)R₂₁(r) exp(–iφ)sin(θ)	$p_{-1}$	2p_–1
0	R₂₁(r) cos(θ)		2p₀
+1	(1/√2)R₂₁(r) exp(+iφ)sin(θ)	$p_{+1}$	2p₊₁

Gdzie R₂₁(r) ~ (Zr/2a) exp(–Zr/2a). Postać R₂₁(r) jest taka, że funkcja falowa ψ rzeczywiście przpomina hantle i obwarzanki, więc trudno ją odróżnić na oko od dwuwymiarowego wykresu biegunowego omawianego powyżej. W wzorach pojawiła się liczba atomowa Z, bo wiedza na temat orbitali p przydaje się głównie dla innych atomów niż wodór, natomiast a, to parametr o wymiarze odległości z racji historycznych zwany promieniem atomu wodoru Bohra.

Spróbuję przystąpić do namalowania wykresu gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu czyli |ψ|². W tym celu wybiorę sobie jedną z płaszczyzn:

ciecia płaszczyzną

przecinających naszą funkcję i przedstawię natężenie prawdopodobieństwa kolorem niebieskim – im ciemniej tym większa wartość. Powinno być wiadomo o co chodzi – musimy sobie wyobrazić, że wykres trzeba obrócić wokół osi Z, żeby dostać 3D.

|ψ(r)|² dla n=2, l=1, m=0

Tak wygląda, w identycznym ustawieniu, kwadrat modułu funkcji falowych przy m=±1:

|ψ(r)|² dla n=2, l=1, m=±1. Zwróćmy uwagę, że natężęnie prawdopodobieństwa jest mniejsze, bo objemuje większy obszar niż w przypadku m=0, a zesumowane w całej przestrzeni powinno dać tę samą wartość równą 1.

Gęstości prawdopodobieństw są identyczne dla obu m=±1, mimo to funkcje są różne i różnią się (nieglobalną) fazą. Faza jest taka, żeby oddawać ruch orbitalny. Jak chcesz to jakoś sobie ułożyć w głowie, zajrzyj do notki „Model cząstki w mechanice falowej” i pomyśl, że dwie sinusoidy ograniczono do jednego okresu i zapętlono wokół osi Z. Jakoś to nie do końca widoczne, w tej q-obrazkowej notce, ale trzeba pamiętać, że funkcja falowa to nie to samo, co kwadrat jej modułu.

Orbitale p_x, p_y, p_z

Powyższy zestaw trzech orbitali jest fajny, jak chcemy badać oddziaływania z polem magnetycznym. W chemii bardziej użyteczny jest inny wybór klocków z jakich buduje się konfiguracje elektronowe. Chodzi mianowicie o orbitale podobne do p₀, czyli przypominającego hantle, tyle że zgrupowane wokół dwóch następnych osi. Otrzymujemy w ten sposób trójkę innych stanów tworzących bazę w przestrzeni funkcji falowych dla których n=2 i l=1. Fizycy na wybór bazy w przestrzeni stanów mówią mądrze wybór reprezentacji. Na obrazkach podałem jak przeliczyć sobie te nowe wektory bazowe (do otrzymanych w ten sposób funkcji falowych p_x i p_y dołączyć należy też p_z=p₀):

px = (1/√2)(p+1+p–1) py = (1/√2)(p+1–p–1)

Dlaczego tak? No bo chemikom lepiej takie pasują do wyliczania funkcji falowych elektronów „uwspólnianiach” dla różnych atomów. Taki wybór, to pierwsze przybliżenie, które potem musi być poprawiane. Im lepiej się je dobierze, tym mniej się namęczy przy wyliczeniach. Zresztą oddajmy głos Feynmanowi, który objaśnia dlaczego cząsteczka wody ma taki a nie inny kształt: Weźmy jakiś atom, który ma cztery stany 2p. np. tlen. Pierwsze trzy elektrony zajmują stany „x”, „y” i „z”, a czwarty zajmuje jedne z tych obsadzonych stanów, zostawiając dwa stany, np. „x” i „y” wolne. Zobaczmy więc, co zdarzy się w H₂O. Każdy z atomów wodoru chce podzielić się swym elektronem z tlenem, by pomóc mu w zapełnieniu powłoki. W cząsteczce powinny więc być dwa atomy wodoru, tworzące kąt prosty względem środka atomu tlenu. W rzeczywistości kąt ten wynosi 105º. Możemy nawet zrozumieć, dlaczego kąt jest nieco większy od 90º. (…) Odpychanie elektryczne atomów wodoru stara się „wyprostować” funkcję falową i zmienia kąt na 105º. („Wykłady z fizyki” tom III str. 384-5)

Czyli jednak q-obrazki czasami się przydają. Ale mają znaczenie raczej ilustracyjne.