Druga porcja q-obrazków. Tym razem chodzi o ruch, którego uczą w gimnazjum czy liceum i nazywają to rzutami pionowymi. Oczywiście wtedy rozpatruje się wersję klasczną ruchu. W tym szkolnym, niekwantowym, przypadku energia potencjalna równa jest V(h)=mgh – liniowo zależy od współrzędnej przestrzennej. W kwantowym modelu energia potencjalna jest podobna: do równania Schrödingera wstawię potencjał stałej siły V(x)=Fx, nie precyzując jaka jest natura stałej F.
W tym przypadku, podobnie jak w poprzedniej notce, również jako stan początkowy wybiorę sobie stan gaussowski i rozwiążę dla niego równanie Schrödingera. Procedura jest identyczna (nie będę przepisywał wszystkich wzorów z poprzedniej notki): znajdujemy współczynniki M i b funkcji falowej
No i okaże się, że równanie na M jest takie samo jak dla cząstki swobodnej i wystarczy przepisać rozwiązanie.
Równanie na b jest trochę inne ze względu na obecność w równaniu członu pochodzącego od potencjału:
Ale, takie równanie też da się rozwiązać (mam nadzieję, że się nie pomyliłem przy upraszczaniu wyniku):
Podobnie jak w przypadku cząstki swobodnej, średnie położenie i pęd zachowują się jak położenie i pęd w mechanice klasycznej.
No i pora na ruchome obrazki. Pierwszy pokazuje paczkę falową (a dokładniej |ψt(x)|2 czyli gęstość prawdopodobieństwa w zależności od położenia) która początkowo porusza się w prawo, a siła działa w lewo. Siła zawraca cząstkę, jak się należało spodziewać.
Jeszcze jeden przypadek. Start z cząstki „nieruchomej” – rozpędzanie cząstki od zera.
Jak widać rozpływanie prawdopodobieństwa jest takie samo jak dla cząstki swobodnej, co nie jest dziwne, skoro M zachowuje się tak samo (w tym parametrze znajduje się informacja o szerokości paczki falowej).
Uwagi
Obliczenia M i b przeprowadziłem w Excelu. Dla danej chwili t rysowałem wykres |ψt(x)|2. Wytworzenie kilkunastu plików graficznych to żmudna robota, ale od żmudnej roboty są makra, więc trzeba było trochę się poduczyć VBA (niestety nie umiem za dużo). Na koniec GIMP złożył dwadzieścia parę obrazków w jeden ruchomy.
Kiedyś napisałem, że w Excelu nie ma liczb zespolonych i… nie miałem racji. Otóż są – żeby wprowadzić jakąś liczbę (np urojone i) trzeba wklepać komendę:
=COMPLEX(0;1)
Podobnie dla innych liczb. Jakby nie działało, to pomoc podpowiada: Jeśli funkcja jest niedostępna i zwracany jest błąd #NAZWA?, należy zainstalować i załadować dodatek Analysis ToolPak. Jak się to zrobi, to spokojnie można liczyć. Zestaw funkcji potrzebnych do działań matematycznych obejmuje np. mnożenie: IMPRODUCT, sumę – IMSUM; dzielenie – IMDIV. Szczęśliwie argumentami tych funkcji mogą być zwykłe liczby zmiennoprzecinkowe, więc nie trzeba wszystkiego konwertować do zespolonych.
W następnej notce kolejne obrazki.
