Pewnego razu, wiadomo, że dawno temu, bo młody nie jestem, w akademiku, wspomniałem współlokatorowi o dobroci bra-ketów. Kolega geolog odrzekł, że „bra” to rozumie, ale co wspólnego z biustonoszem ma „ket”? No tak, to skojarzenie też jest bardzo pozytywne, ale nie o biustonoszach dzisiaj będzie.
Jak już napisałem to i owo o macierzach gęstości, to aż się prosi, by powiedzieć coś niecoś o tzw. notacji Diraca. Jest ona wygodna, jeśli mamy zamiar pisać sobie jakieś równania matematyczne, gdzie głównymi aktorami są macierze operatorów, wektory i działający na nich iloczyn skalarny. Do tej pory zdaje się nie stosowałem tego formalizmu, więc kilka słów o co chodzi.
Ponieważ w owe „bra” i „kety” pakować będziemy przede wszystkim wektory bazowe, to przypomnę, że w kwantologii używa się tylko baz ortonormalnych.
Algebra
Już na poziomie algebry ujawniają się oszczędności związane z notacją Diraca. Rozpatrzmy zadanie rozkładu ψ wektora na składowe. Dla ustalenia uwagi niech interesuje nas taki rozkład, że składowe są wektorami własnymi operatora energii. Już dwa razy (tu i tu) pisałem taki rozkład, że przypomnę wzory:
ψ = ∑n ψnφn
gdzie owe φn są wektorami własnymi operatora energii:
Taki rozkład wektora na składowe jest niefajny, bo na przykład ψn oznacza liczbę (współrzędną) a φn wektor bazowy. No i połap się tu, początkujący badaczu kwantów, jak to sobie rozróżniać!
Wynalazek Diraca radzi sobie z tą niedobrocią. Tak z grubsza polega na pisaniu |n⟩ zamiast φn. Oszczędzamy jeden symbol (tu φ), których tak brakuje fizykom[1] i od razu widać, co jest wektorem a co nie. Popatrzmy jak przyjaźnie zapisuje się rozkład wektora w bazie:
Stany własne energii: H|n⟩ = En |n⟩
Rozkład wektora: |ψ⟩ = ∑n ψn |n⟩
Zdaje się jedyną wadą zapisu jest to, że trzeba się do niego przyzwyczaić.
Jeszcze jeden przykład: rozkładałem dwie notki temu wektor opisujący spin używając takiego wzoru:
Czyż dirakowski zapis nie jest ładniejszy?
|x+⟩ = (1/√2) (|↑⟩ + |↓⟩)
Iloczyn skalarny
Moc zapisu braketowego objawia się, kiedy w równaniach pojawia się iloczyn skalarny. Wygląda on tak:
⟨ψ|ϕ⟩ ≡ (ψ, ϕ)
Stąd zresztą wzięła się nazwa bra-ket. „Bracket” to nawias, więc powyższe wyrażenie w nawiasach trójkątnych zostało po prostu tak nazwane.
⟨ψ|ϕ⟩ „dzielimy” na dwie części: „bra” i „ket”. Co więcej jeśli w trakcie wyprowadzeń „bra” spotka się z „ketem”, to chętnie połączą się w iloczyn skalarny, jak we wzorze powyżej.
Kilka przykładów
Ciekawe, co uzyskamy mnożąc jakiś wektor ψ przez któryś z wektorów bazowych:
⟨ i|ψ⟩ = ⟨ i| ∑jψj|j ⟩ = ∑j ψj ⟨i|j ⟩ = ∑j ψj δij = ψi
Dostaliśmy współrzędną wektora. Ładnie. Wykorzystajmy ten fakt przy wypisywaniu rozkładu wektora na składowe[2]:
|ψ⟩ = ∑i ψi|i ⟩ = ∑i ⟨ i|ψ⟩ |i ⟩ = ∑i |i ⟩⟨ i|ψ⟩ = ( ∑i |i ⟩⟨ i| )|ψ⟩
Okazało się, że wyrażenie ∑i |i ⟩⟨ i| jest operatorem identycznościowym, czyli macierzową jedynką. A ponieważ wstawienie takiej jedynki nic nie zmienia, to często się ją wstawia, żeby cos policzyć.
Przykład działania? Proszę bardzo: spróbujmy obliczyć jakie są wyrazy macierzowe jakiegoś operatora A. Obłóżmy go takimi jedynkami i zobaczmy co wyjdzie:
A = 1A1 = ∑ij |i ⟩⟨ i|A|j ⟩⟨ j| = ∑ij |i⟩Aij⟨ j|
Od razu widać, że elementy macierzowe to Aij = ⟨ i|A|j ⟩. Co więcej ⟨ j| stoi w gotowości by zadziałać (połączyć się węzłem iloczynu skalarnego) na stojący za nim wektor. Czyli jest tak jak powinno być: operator działa na wektor. To taka intuicja.
Jednym z ciekawszych operatorów jest tzw. operator rzutowy. Chodzi o odwzorowanie wyłuskujące składową jakiegoś wektora równoległą do wybranego wektora ψ. Operator ma taką postać, a że działa jak opisane było powyżej zostawiam jako zadanie ZTS:
Pψ = |ψ⟩⟨ψ|
Policzmy ślad iloczynu Pψ i jakiejś obserwabli A:
Tr( Pψ A ) = ∑i ⟨ i|Pψ A|i ⟩ = ∑i ⟨ i|ψ⟩⟨ψ|A|i ⟩ = ∑i ⟨ψ|A|i ⟩⟨ i|ψ⟩ = ⟨ψ|A|1|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩
No i tym sposobem dowiedzieliśmy się, że operator rzutowy Pψ=|ψ⟩⟨ψ| jest po prostu stanem czystym odpowiadającym wektorowi ψ. Do tej pory używałem zapisu ρψ, a tu widać (moim zdaniem) milszy sposób.
Zakończę dowodem niezależności śladu operatora od bazy. Literami i,j ponumeruję wektory pierwszej bazy, a α i β drugiej. No to napiszmy jak wygląda ślad operatora w pierwszej bazie i liczmy…
Tr(A) = ∑i ⟨ i|A|i ⟩ = …
wstawiamy operatory jednostkowe postaci: 1 = ∑α |α⟩⟨α|
… = ∑αiβ ⟨ i|α⟩⟨α|A|β⟩⟨β|i ⟩ = …
… = ∑αβ ⟨β| (∑i|i ⟩⟨ i| ) |α⟩⟨α|A|β⟩ = ∑αβ ⟨β|α⟩⟨α|A|β⟩ = …
… = ∑αβ δαβ⟨α|A|β⟩ = ∑α ⟨α|A|α⟩
Widać, że wartość śladu jest w każdej bazie wyrażona tym samym wzorem. Nie wiem jak innym, ale dla mnie taki dowód jest łatwiejszy i bardziej przejrzysty niż operowanie macierzami przejścia z jednej bazy do drugiej.
Czasami bra-kety to co innego
No właśnie, nie będę cię utrzymywał w nieświadomości, ale czasami bra-kety to nie to samo co wypisałem powyżej. Przykład? Wystarczy zajrzeć do Feynmana, gdy opisuje on tzw. amplitudę prawdopodobieństwa. Ten przykład sam podawałem w notce Excel w służbie mechaniki kwantowej. Zacytowane ⟨y|x⟩ było amplitudą prawdopodobieństwa, że cząstka przejdzie z punktu x do y, a nie żaden iloczyn skalarny[3].
Podobne zapisy stosowane są przede wszystkim w relatywistycznej kwantologii i powiem szczerze nie wiem „co autor miał na myśli”, jeśli chodzi o sens matematyczny. Może ktoś z czytelników mi to objaśni?
Niezależnie od niejasności „zapisu Feynmana”, od tej pory będę stosował zapis Diraca, w miejscach, gdzie uznam to za sensowne. Bo niniejsza pogadanka ma charakter typowo techniczny. Skoro chcę używać tego typu notacji, trzeba powiedzieć o co w niej chodzi ☺ No chyba, że nie popełnię już żadnej notki.
[1] To nie do końca jest żart, bo ilość miejsc, gdzie z racji „oszczędności” te same literki oznaczają różne rzeczy jest w fizyce naprawdę duża.
[2] W wyprowadzeniu zmieniłem kolejność mnożenia liczba razy wektor na wektor razy liczba. Na początku może się to nie wydawać oczywiste, ale jak samemu przeliczy się kilka takich wyprowadzeń, szybko nabierze się pewnej intuicji.
[3] Wprowadzając (mało ściśle) formalizm dirakowski dla wartości ciągłych x, uznaje się że ów „iloczyn skalarny” będzie równy delcie Diraca: ⟨y|x⟩ =δ(x-y), natomiast u Feynmana wyrażenie to jest propagatorem.
